Hai số tự nhiên liên tiếp gồm một số lẻ và một số chẵn 

\(\Rightarrow2n\left(2n+1\right)⋮2\)

Mà \(3n+1\)là số lẻ nên....

gọi tích hai stn liên tiếp là \(n\left(n+1\right)=n^2+n\left(n\in N\right)\)

giả sử tích hai stn liên tiếp có dạng 3n+1

suy ra \(n^2+n=3n+1\Leftrightarrow n^2-2n+1=2\Leftrightarrow\left(n-1\right)^2=2\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n-1=\sqrt{2}\\n-1=-\sqrt{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=\sqrt{2}+1\\n=-\sqrt{2+1}\end{cases}}\)

mà n là số tự nhiên nên ...

\(2n\left(2n+1\right)\)là số chẵn 

3n +1 không chia hết cho 3 

Vậy ta cần chứng minh 2n(2n+1) là một số chia hết cho 3

Giả sử 2n không chia hết cho 3

\(2n=3k+1\)

\(\Rightarrow2n+1=3k+2\)

\(\Rightarrow2n\left(2n+1\right)=\left(3k+1\right)\left(3k+2\right)=9n^2+9n+2\)chia 3 dư 2 

Vậy tích 2n(2n+1) chia 3 dư 2

Với \(2n=3k+2\)

\(\Rightarrow2n+1=3k+3\)

\(\Rightarrow2n\left(2n+1\right)=3\left(k+3\right)\left(3k+2\right)⋮3\)

C/m tương tự vói 2k+1 nhé bạn

Ta gọi :3SND lần lượt là\(N,N+1,N+2\left(N\in Z\right)\)

\(N\left(N+1\right)\left(N+2\right)=\left(N^2+N\right)\left(N+2\right)=N^3+2N^2+N^2+2N=N^3+3N^2+2N\)

\(N^3< N^3+3N^2+2N< N^3+3N^2+3N+1\)

\(\Rightarrow N^3< N^3+3N^2+2N< \left(N+1\right)^3\left(1\right)\)

Vì \(N\)là SND nên từ \(\left(1\right)\)

Ta có:\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)ko là LP của 1 STN

tổng 5 chữ sô chữ nhiên liên tiếp vẫn chia hết cho 5 sao mà chứng minh được \(VD:1+2+3+4+5=15⋮5\)

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là a , b , c

a = x . 3 

b = x . 3 + 1

c = x . 3 + 2 

Tổng của chúng là x . 3 + x . 3 + 1 + x . 3 + 2 = x . 3 . 3 + 1 + 2 = x . 3 . 3 + 3 = x . 9 + 3

Các số hạng của tổng đều chia hết cho 3 

=> x . 9 + 3 chia hết cho 3 <=> tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 

b ) Tương tự câu đầu

Ta có nhận xét: tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia cho \(3\)chỉ có thể có số dư là \(0\)hoặc \(2\).

Chứng minh: 

Giả sử tích đó là \(a\left(a+1\right)\).

Nếu \(a=3k\)hoặc \(a=3k+2\)thì tích \(a\left(a+1\right)⋮3\).

Nếu \(a=3k+1\)thì \(a\left(a+1\right)=\left(3k+1\right)\left(3k+2\right)=9k^2+9k+2\)chia cho \(3\)dư \(2\).

Do đó ta có đpcm. 

Mà ta có \(3^{50}+1\)chia cho \(3\)dư \(1\)do đó \(3^{50}+1\)không thể là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. 

câu hỏi tương tự đó bạn

 => có 1 số chẵn và 1 số lẻ 

mà bất kì số chẵn nào nhân với 1 số lẻ thì được kết quả là 1 số chẵn => Số đó chia hết cho 2