1) Cho x+y+z=0 và xyz khác 0
CMR giá trị biểu thức ko phụ thuộc vào biến \(\left(\frac{x}{y}+1\right)\left(\frac{y}{z}+1\right)\left(\frac{z}{x}+1\right)\)
2) ch0 a,b,c là số thực;a+b+c=0 CMR ab\(+ac+bc\le0\)
Chứng minh với mọi x, y khác 0 thì giá trị của biểu thức \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+\left(z+\frac{1}{z}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\left(z+\frac{1}{z}\right)\)
không phụ thuộc vào giấ trị của biến
Tính giá trị của biểu thức A = \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\) biết x+y+z=0 và xyz khác 0
Ta có :
\(A=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\)
\(=\frac{x+y}{y}.\frac{y+z}{z}.\frac{z+x}{x}\)
Do x + y + z = 0 => x+y = -z ; y+z = -x ; z+x = -y
\(\Rightarrow A=\frac{-z}{y}.\frac{-x}{z}.\frac{-y}{x}=\frac{\left(-1\right).xyz}{xyz}=-1\)
\(A=\left(1-\frac{z}{x}\right)\left(1-\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\)
\(A=\frac{x-z}{x}\cdot\frac{y-x}{y}\cdot\frac{y+z}{z}\)
Do \(x-y-z=0\)
\(\Rightarrow x-z=y;y-x=-z;y+z=x\)
Khi đó \(A=\frac{y}{x}\cdot\frac{-z}{y}\cdot\frac{x}{z}=-1\)
Vậy A=-1
\(\frac{1}{xy+x+1}+\frac{y}{yz+y+1}+\frac{1}{xyz+yz+y}\)
\(=\frac{1}{xy+x+1}+\frac{y}{yz+y+1}+\frac{1}{1+yz+y}\)
\(=\frac{1}{xy+x+1}+\frac{y+1}{yz+y+1}\)
\(=\frac{yz}{xy\cdot yz+xyz+yz}+\frac{y+1}{yz+y+1}\)
\(=\frac{yz}{yz+y+1}+\frac{y+1}{yz+y+1}\)
\(=\frac{yz+y+1}{yz+y+1}\)
\(=1\)
Cho ba số thực x, y, z thuộc khoảng (0;1) và \(xyz=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)
a. CMR: \(0< xyz\le\frac{1}{8}\)
b. Tìm GTNN của biểu thức \(P=2\left(x+y+z\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Câu a đề hơi sai nha bạn, nên mình chỉ giải câu b thoi
Áp dụng AM-GM cho các bộ 3 số dương (x,y,z) và (1/x,1/y,1/z):
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow P\ge6\sqrt[3]{xyz}+\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\ge2\sqrt{6\sqrt[3]{xyz}.\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}}=6\sqrt{2}\)(BĐT Cô-si)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{2}}\)( thỏa x,y,z thuộc (0;1))
Mình cần câu a ạ :<
Mình sorry vì hôm trước bảo câu a sai nha
Cách giải câu a này:
\(xyz=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)
\(\Leftrightarrow2xyz=\left(xy+yz+zx\right)-\left(x+y+z\right)+1\)
Ta có BĐT: \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)(BĐT này chắc bạn thấy nhiều lần roi, mình ko chứng minh lại nha)
\(\Rightarrow2xyz\le\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2+\left(z+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow2xyz\le\frac{1}{4}\Leftrightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Xét \(x,y,z>0\Rightarrow xyz>0\)
Vậy \(0< xyz\le\frac{1}{8}\)
Cho a,y,z > 0 thõa mãn xyz = 1. Tìm giá trị lớn của biểu thức A = \(\frac{1}{\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x}+\frac{1}{\left(3y+1\right)\left(x+z\right)+y}+\frac{1}{\left(3z+1\right)\left(x+y\right)+z}\)
Ta có: \(\frac{1}{\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x}=\frac{1}{3x\left(y+z\right)+x+y+z}\le\frac{1}{3x\left(y+z\right)+3\sqrt[3]{xyz}}\)
\(=\frac{1}{3x\left(y+z\right)+3\sqrt[3]{1}}=\frac{1}{3x\left(y+z\right)+3}=\frac{1}{3\left(xy+zx+1\right)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+1}\)
Tương tự ta chứng minh được:
\(\frac{1}{\left(3y+1\right)\left(z+x\right)+y}\le\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+1}\) ; \(\frac{1}{\left(3z+1\right)\left(x+y\right)+z}\le\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1}\)
Cộng vế 3 BĐT trên lại:
\(A\le\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+1}+\frac{1}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+1}+\frac{1}{\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+1}\right)\)
\(\Leftrightarrow3A\le\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^3+\left(\frac{1}{\sqrt[3]{y}}\right)^3+1}+\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{y}}\right)^3+\left(\frac{1}{\sqrt[3]{z}}\right)^3+1}+\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{z}}\right)^3+\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^3+1}\)
Đặt \(\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}};\frac{1}{\sqrt[3]{y}};\frac{1}{\sqrt[3]{z}}\right)=\left(a;b;c\right)\) khi đó:
\(3A\le\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\)
\(=\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+1}+\frac{1}{\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)+1}+\frac{1}{\left(c+a\right)\left(c^2-ca+a^2\right)+1}\)
\(\le\frac{1}{\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)+1}+\frac{1}{\left(b+c\right)\left(2bc-bc\right)+1}+\frac{1}{\left(c+a\right)\left(2ca-ca\right)+1}\)
\(=\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+1}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)+1}\)
\(=\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{abc}{bc\left(b+c\right)+abc}+\frac{abc}{ca\left(c+a\right)+abc}\)
\(=\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{b+c+a}+\frac{b}{c+a+b}\)
\(=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy Max(A) = 1 khi x = y = z = 1
Câu hỏi của Pham Van Hung - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Cho 3 số x,y,z khác 0 đồng thời thỏa mãn \(x+y+z=\frac{1}{2},\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{xyz}=4\) và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>0\)
Tính giá trị biểu thức Q=\(\left(y^{2017}+z^{2017}\right)\left(z^{2019}+x^{2019}\right)\left(x^{2021}+y^{2021}\right)\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z+xyz=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=\(\left(1+\frac{x}{y}+xz\right)\left(1+\frac{y}{z}+yz\right)\left(1+\frac{z}{x}+xz\right)\)
cho \(x^2-y=a;y^2-z=bvoiz^2-x=c\left(a,b,c\right)lahangso\) số
cmr giá trị của biểu thức ko phụ thuộc vào giá trị biểu thức x,y,z
\(p=x^3\left(z-y^2\right)+y^3\left(x-z^2\right)+z^3.\left(y-x^2\right)=xyz.\left(xyz-1\right)\)
các bạn làm hộ mình nha
1/Cho a,b,c thỏa mãn \(\frac{2}{\left(x^2+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{ax+b}{x^2+1}+\frac{c}{x-1}\)
Tính giá trị biểu thức M=\(\frac{a^{2017}+b^{2018}+c^{2019}}{a^{2017}b^{2018}c^{2019}}\)
2/Cho x,y,z≠0 và x+y+z=2008
Tính giá trị biểu thức P=\(\frac{x^3}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{y^3}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^3}{\left(z-y\right)\left(z-x\right)}\)