Toán

gọi số bài điểm 8;9;10 là x;y;z , áp dụng tính chất tỷ lệ thức ta có:

x+y+z =100

x/8 =y/9=z/10

k = (x+y+z)/(8+9+10) = 100/27= 2,7

x= 8.2,7 = 21,6 bài ( đề cho sai...)

tớ nghĩ đề không sai, hậu duệ anhxtanh học nhiều lại đâm ra rối loạn tạm thời . t bấm máy thử được cái vd thỏa mãn: 3 bài 8đ, 4 bài 9đ và 4 bài 10đ

Gọi số bài 8,9,10 điểm lần lượt là a,b,c (a,b,c thuộc Z+)

Theo đề, ta có hệ pt:

\(\left\{{}\begin{matrix}8a+9b+10c=100\\a+b+c=11\end{matrix}\right.\)

(vấn đề là giải cái thứ này ra, nhưng lực lượng nơ-ron bên này còn non trẻ quá, anh chị nào giải giùm để học hỏi kinh nghiệm với, xin cảm ơn ^^!)

Tên : Bastkoo

Lớp : 6

Link : https://hoc24.vn/vip/trung123

-Cũng tốt,đúng dịp ôn thi,có khi không làm nổi nhưng vẫn sẽ thử sức cái,khởi động cái não ngu ngu của mk^^

-Tên:Nguyễn Thị Nguyệt.

-Lớp:9

-Link nick:Góc học tập của Nguyễn Thị Nguyệt | Học trực tuyến

@Nguyễn Huy Tú em xóa bình luận của a giùm nha. Thấy vui vui a vô chém tý mà gạch đá nhiều quá xây được nhà luôn rồi. Thanks e nhé :)

Lợi dụng Cauchy-Schwarz' inequality ta có:

\(\dfrac{ab}{\sqrt{ab+2c}}=\dfrac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\dfrac{ab}{\sqrt{ab+ac+bc+c^2}}\)

\(=\dfrac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c}\right)\)

Tương tự ta cũng có:

\(\dfrac{bc}{\sqrt{bc+2a}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{bc}{a+c}\right);\dfrac{ca}{\sqrt{ca+2b}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ca}{a+b}+\dfrac{ca}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(P\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{ab+bc}{a+c}+\dfrac{bc+ca}{a+b}+\dfrac{ab+ca}{b+c}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b\left(a+c\right)}{a+c}+\dfrac{c\left(a+b\right)}{a+b}+\dfrac{a\left(b+c\right)}{b+c}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{2}\cdot2=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{2}{3}\)

Ta có P=\(\dfrac{ab}{\sqrt{ab+\left(a+b+c\right)c}}+\dfrac{bc}{\sqrt{bc+\left(a+b+c\right)a}}+\dfrac{ac}{\sqrt{ac+\left(a+b+c\right)b}}\)

=\(\dfrac{ab}{\sqrt{ab+ac+bc+c^2}}+\dfrac{bc}{\sqrt{bc+ac+ab+a^2}}+\dfrac{ac}{\sqrt{ac+ab+bc+b^2}}\)

=\(\dfrac{ab}{\sqrt{a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)}}+\dfrac{bc}{\sqrt{b\left(a+c\right)+a\left(a+c\right)}}+\dfrac{ac}{\sqrt{c\left(a+b\right)+b\left(a+b\right)}}\)

=\(\dfrac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{bc}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}}+\dfrac{ac}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+b\right)}}\)

áp dụng bđt Cói ta có:

\(\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)\(\le\)\(\dfrac{2+c}{2}=1+\dfrac{c}{2}\)

\(\sqrt{\left(b+á\right)\left(c+a\right)}\)

Áp dụng BĐT Côsi-Shaw ta có :

\(A=\dfrac{1}{\sqrt[3]{a+7b}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{b+7c}}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{c+7a}}\ge\dfrac{9}{\sqrt[3]{a+7b}+\sqrt[3]{b+7c}+\sqrt[3]{c+7a}}\)

Đặt \(B=\sqrt[3]{a+7b}+\sqrt[3]{b+7c}+\sqrt[3]{c+7a}\)

Ta sẽ có : \(\dfrac{9}{B}\)

Mà : \(\dfrac{9}{B}\) đạt GTNN khi B lớn nhất .

Áp dụng BĐT Cô si , ta có :

\(\sqrt[3]{\left(a+7b\right).8.8}\le\dfrac{a+7b+8+8}{3}\) ( 1 )

Tương tự , ta có :

\(\sqrt[3]{\left(b+7c\right).8.8}\le\dfrac{b+7c+8+8}{3}\left(2\right)\)

\(\sqrt[3]{\left(c+7a\right).8.8}\le\dfrac{c+7a+8+8}{3}\) \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế của \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) ta có :

\(4.\left(\sqrt[3]{a+7b}+\sqrt[3]{b+7c}+\sqrt[3]{c+7a}\right)\le\dfrac{8}{3}\left(a+b+c\right)+16\)

\(\Leftrightarrow4B\le24\)

\(\Leftrightarrow B\le6\)

Vậy \(Max_B=6\) \(\Leftrightarrow Min_A=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1.\)

Sai thôi nha

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow A\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}}\) (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}\le\dfrac{8\left(a+b+c\right)}{3}=8\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}\ge\dfrac{1}{8}\)

\(\Rightarrow3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\sqrt[3]{\left(a+7b\right)\left(b+7c\right)\left(c+7a\right)}}}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{3}{2}\) (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow A_{min}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Toán lớp 10 đây à

Lời giải:

Ta có:

\(\frac{a}{a+bc}=\frac{a}{a(a+b+c)+bc}=\frac{a}{(a+b)(a+c)}\)

Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại thu được:

\(\text{VT}=\frac{a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{2(ab+bc+ac)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\) \((1)\)

Ta để ý bổ đề sau:

\((a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)\)

Chứng minh:

\(\prod(a+b)=(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc\geq (a+b+c)(ab+bc+ac)-\frac{(a+b+c)(ab+bc+ac)}{9}=\text{VP}\)

Áp dụng vào bài toán:

\((a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(ab+bc+ac)\) \((2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{9}{4}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

VP = \(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}\)

\(=\left(a-b\right).\dfrac{\left(a+c\right)-\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\left(b-c\right).\dfrac{\left(b+a\right)-\left(c+a\right)}{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}+\left(c-b\right).\dfrac{\left(c+b\right)-\left(a+b\right)}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}\)

\(=\left(a-b\right).\left(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{a+c}\right)+\left(b-c\right)\left(\dfrac{1}{c+a}-\dfrac{1}{b+a}\right)+\left(c-a\right).\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{c+b}\right)\)

\(=\left(a-b\right).\dfrac{1}{b+c}-\left(a-b\right).\dfrac{1}{a+c}+\left(b-c\right).\dfrac{1}{c+a}-\left(b-c\right).\dfrac{1}{b+a}+\left(c-a\right).\dfrac{1}{a+b}-\left(c-a\right).\dfrac{1}{c+b}\)

\(=\left(2a-b-c\right).\dfrac{1}{b+c}+\left(2b-c-a\right).\dfrac{1}{c+a}+\left(2c-a-b\right).\dfrac{1}{a+b}\)

\(=\dfrac{2a}{b+c}-\left(b+c\right).\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{2b}{c+a}-\left(c+a\right).\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{2c}{a+b}-\left(a+b\right).\dfrac{1}{a+b}\)

\(=2\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)-3\left(đpcm\right)\)

\(VT=\dfrac{2a^3-a^2b-a^2c-ab^2-ac^2+2b^3-b^2c-bc^2+2c^3}{(a+b)(b+c)(c+a)} \)

\(\\=\dfrac{a^3+a^2b-2a^2b-2ab^2+ab^2+b^3+b^3+b^2c-2b^2c-2bc^2+bc^2+c^3+c^3+c^2a-2c^a+2ca^2-ca^2+a^3}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)

\(\\=\dfrac{(a-b)^2(a+b)+(b-c)^2(b+c)+(c-a)^2(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)

a) ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

A = \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}-2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}+2}+\dfrac{\sqrt{x}}{1-x}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{1}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{1}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{\sqrt{x}}{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{2\left(x-1\right)}-\dfrac{\sqrt{x}-1}{2\left(x-1\right)}-\dfrac{2\sqrt{x}}{2\left(x-1\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+1-2\sqrt{x}}{2\left(x-1\right)}\)

\(\Leftrightarrow A=\dfrac{2\left(1-\sqrt{x}\right)}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)

b) Khi \(x=\dfrac{4}{9}\) (thảo mãn ĐKXĐ) thì giá trị của A là:

\(A=-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=-\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{4}{9}}+1}=-\dfrac{3}{5}\)

Vậy .....

c)

+) Khi \(A=-\dfrac{1}{2}\) thì ta có:

\(A=-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=-\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow x=1\) (Loại do không thỏa mãn ĐKXĐ)

+) Khi \(A=\dfrac{-1}{4}\) thì ta có:

\(A=-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=-\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow x=9\) (thỏa mãn)

Vậy để A = \(-\dfrac{1}{4}\) thì x = 9

a/ ĐKXĐ: \(x\ge0,x\ne1\)

\(A=\dfrac{1}{2\sqrt{x}-2}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}+2}+\dfrac{\sqrt{x}}{1-x}\)

= \(\dfrac{1}{2\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{1}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

= \(\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+1-2\sqrt{x}}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

= \(\dfrac{2-2\sqrt{x}}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

= \(\dfrac{-2\left(\sqrt{x}-1\right)}{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

= \(\dfrac{-1}{\sqrt{x}+1}\)

b/

Thay \(x=\dfrac{4}{9}\) vào A ta được:

\(A=\dfrac{-1}{\sqrt{\dfrac{4}{9}}+1}=\dfrac{-1}{\dfrac{2}{3}+1}=\dfrac{-3}{5}\)

Vậy khi \(x=\dfrac{4}{9}\) thì \(A=\dfrac{-3}{5}\)

c/ Với \(x\ge0,x\ne1\)

* Để \(A=\dfrac{-1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{-1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{-1}{2}\)

\(\Leftrightarrow-2=-\sqrt{x}-1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1\) ( ktmđk)-Loại

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn \(A=\dfrac{-1}{2}\)

* Để \(A=\dfrac{-1}{4}\Leftrightarrow\dfrac{-1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{-1}{4}\)

\(\Leftrightarrow-4=-\sqrt{x}-1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9\) (tmđk)

Vậy để \(A=\dfrac{-1}{4}\) thì \(x=9\)

Ta có:

\(\left|H\right|=\left|\dfrac{xy+yz+zx}{xyz}\right|\le\dfrac{\left|xy\right|+\left|yz\right|+\left|zx\right|}{\left|xyz\right|}=\dfrac{1}{\left|x\right|}+\dfrac{1}{\left|y\right|}+\dfrac{1}{\left|z\right|}\le\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=1\)

\(\Rightarrow H\le1\) (đpcm)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\left[\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{1}{c}\right)\right]^4}\)

\(\Rightarrow VT\ge3\left(\sqrt[3]{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{abc}}\right)^4\) (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\\\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a^2b^2c^2}}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{abc}\ge1+3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}+3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a^2b^2c^2}}+\dfrac{1}{abc}\)

\(\Rightarrow1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{abc}\ge\left(1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\)

\(\Rightarrow3\left(\sqrt[3]{1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}+\dfrac{1}{abc}}\right)^4\ge3\left(1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^4\) (2)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\sqrt[3]{abc}\le\dfrac{abc+1+1}{3}=\dfrac{abc+2}{3}\)

\(\Rightarrow1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\ge1+\dfrac{3}{abc+2}\)

\(\Rightarrow3\left(1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^4\ge3\left(1+\dfrac{3}{abc+2}\right)^4\) (3)

Từ (1) và (2) và (3)

\(\Rightarrow VT\ge3\left(1+\dfrac{3}{abc+2}\right)^4\)

\(\Leftrightarrow\left(1+\dfrac{1}{a}\right)^4+\left(1+\dfrac{1}{b}\right)^4+\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^4\ge3\left(1+\dfrac{3}{abc+2}\right)^4\) ( đpcm )

\(A=B.C\) đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{x}\\b=\sqrt{2y}\end{matrix}\right.\)

\(B=\dfrac{2a^2+b^2}{\left(a-b\right)\left(a^2+b^2+ab\right)}-\dfrac{a}{a^2+ab+b^2}\)

\(B=\dfrac{2a^2+b^2-a\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a^2+b^2+ab\right)}=\dfrac{a^2+b^2+ab}{\left(a-b\right)\left(a^2+b^2+ab\right)}\)

\(B=\dfrac{1}{a-b}\)

\(C=\dfrac{a^3+b^3}{b^2+ab}-a=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)}{b\left(a+b\right)}-a=\dfrac{a^2+b^2-ab-ab}{b}\)

\(C=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{b}\)

\(A=\dfrac{1}{a-b}.\dfrac{\left(a-b\right)^2}{b}=\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{a}{b}-1\)

\(A=\sqrt{\dfrac{x}{2y}}-1\)

A=\(\sqrt{\dfrac{x}{y2}}-1\)