Giải phương trình
\(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+\sqrt{x\left(x-1\right)}=1\)
Giải phương trình
\(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}+\sqrt{x\left(x-1\right)}=1\)
ĐẶT \(\sqrt{X}=a,\sqrt{x-1}=b\)
=> PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI:
\(a+b+ab=1\)
<=>\(a+1+b\left(a+1\right)=2\)
<=> (a+1)(b+1) = 2
<=> a = 1
<=> x = 1
A thuộc (d):x-2y+1=0
Đường tròn C: (x-2)^2 + (y+1) ^2 = 1
Tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (C) với B,C là tiếp điểm sao cho chu vi ABC nhỏ nhất
Tìm A
Câu hỏi đầu tiên của tôi :)
Đặt I là tâm đường tròn (C), khi đó \(I=\left(2;-1\right);R=1\)
Gọi khoảng cách từ I tới A là d, khi đó \(AB=AC=\sqrt{d^2-1}\)
Vậy \(d>1\)
Do tam giác ABI vuông tại B nên \(\dfrac{BC}{2}\) là độ dài đường cao tam giác. Suy ra \(BC=2.\dfrac{AB.BI}{AI}=2.\dfrac{\sqrt{d^2-1}.1}{d}=\dfrac{2\sqrt{d^2-1}}{d}\)
Vậy chu vi tam giác ABC là:
\(AB+AC+BC=2\sqrt{d^2-1}+\dfrac{2\sqrt{d^2-1}}{d}\)
\(\ge2.2\sqrt{\dfrac{d^2-1}{d}}=4\sqrt{d-\dfrac{1}{d}}\)
Vậy AB + BC + CA nhỏ nhất khi d nhỏ nhất hay khoảng cách từ I tới A nhỏ nhất.
Hay A chính là chân đường cao hạ từ I xuống đường thẳng (d)
Ta dễ dàng tìm được A(1;1).
Đáp án đề thi vòng 2:
Bài 1:
a, Ta có: \(2\left|x-3\right|\ge0\)
\(\Rightarrow-2\left|x-3\right|\le0\)
\(\Rightarrow A=9-2\left|x-3\right|\le9\)
Dấu " = " xảy ra khi \(2\left|x-3\right|=0\Rightarrow x=3\)
Vậy \(MAX_A=9\) khi \(x=3\)
b, Ta có: \(B=\left|x-2\right|+\left|x-8\right|=\left|x-2\right|+\left|8-x\right|\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta có:
\(B=\left|x-2\right|+\left|8-x\right|\ge\left|x-2+8-x\right|=\left|6\right|=6\)
Dấu " = " xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-2\ge0\\8-x\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow2\le x\le8\)
Vậy \(MIN_B=6\) khi \(2\le x\le8\)
Bài 2:
a, Ta có: \(a^3+b^3+c^3=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^3+c^3=-a^3\\a^3+b^3=-c^3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^3b^3+2b^3c^3+3c^3a^3=a^3b^3+c^3a^3+2c^3a^3+2b^3c^3\)
\(=a^3\left(b^3+c^3\right)+2c^3\left(a^3+b^3\right)\)
\(=a^3\left(-a^3\right)+2c^3\left(-c^3\right)=-a^6-2c^6\le0\)
\(\Rightarrowđpcm\)
b, Ta có: \(\sqrt{8}+\sqrt{15}< \sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=8-1=\sqrt{61-1}< \sqrt{65}-1\)
Vậy \(\sqrt{8}+\sqrt{15}< \sqrt{65}-1\)
Bài 3:
a, Giải:
Gọi 3 cạnh của tam giác tỉ lệ với 2, 3, 4 là a, b, c và 3 chiều cao tương ứng là x, y, z \(\left(a,b,c,x,y,z>0\right)\)
Ta có: \(2S=ax=by=cz\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{2}x.2=\dfrac{b}{3}y.3=\dfrac{c}{4}z.4\)
\(\Rightarrow2x=3y=4z\)
\(\Rightarrow\dfrac{2x}{12}=\dfrac{3y}{12}=\dfrac{4z}{12}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{6}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{3}\)
Vậy 3 chiều cao tương ứng của 3 cạnh đó tỉ lệ với 6, 4, 3
b, Giải:
Gọi hai số cần tìm là \(x,y\left(x,y\ne0;x>y\right)\)
Ta có: \(\dfrac{x+y}{4}=\dfrac{x-y}{1}=\dfrac{xy}{45}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{x+y}{4}=\dfrac{x-y}{1}=\dfrac{x+y-x+y}{4-1}=\dfrac{2y}{3}=\dfrac{xy}{45}\)
Tương tự \(\Rightarrow\dfrac{2x}{5}=\dfrac{2y}{3}=\dfrac{xy}{45}\)
\(\Rightarrow18x=30y=xy\)
\(\Rightarrow x=30,y=18\)
Vậy x = 30, y = 18
Bài 4:
Giải:
Gọi H là trung điểm của cạnh AC. K là giao điểm của BE và DH
Ta có: DH // AB, \(DH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{AC}{2}\)
Xét \(\Delta EDK,\Delta EBA\) có:
\(\widehat{DEK}=\widehat{AEB}\) ( đối đỉnh )
ED = EA ( gt )
\(\widehat{EDK}=\widehat{EAB}\) ( so le trong do DH // AB )
\(\Rightarrow\Delta EDK=\Delta EAB\left(g-c-g\right)\)
\(\Rightarrow DK=AB\) ( cạnh tương ứng )
\(\Rightarrow DH=\dfrac{DK}{2}\)
\(\Rightarrow\)H là trung điểm của DK
\(\Delta MDK\) vuông tại M, MH là trung tuyến \(\Rightarrow MH=\dfrac{DK}{2}\)
\(\Rightarrow MH=\dfrac{AC}{2}\)
\(\Delta MAC\) có MH là đường trung tuyến và \(MH=\dfrac{AC}{2}\)
\(\Rightarrow\Delta MAC\) vuông tại M
\(\Rightarrow AM\perp MC\left(đpcm\right)\)
Bài 5:
a, Giải:
p, q là các số nguyên tố lớn hơn 2
\(\Rightarrow p,q\) là số lẻ
Đặt \(p+q=2a\left(a\in N^{\circledast}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{p+q}{2}=a\)
Vì p < q \(\Rightarrow p+p< p+q< q+q\)
\(\Rightarrow2p< 2a< 2q\)
\(\Rightarrow p< a< q\)
Mà p, q là hai số nguyên tố liên tiếp
\(\Rightarrow\)a là hợp số
Vậy \(\dfrac{p+q}{2}\) là hợp số
b, Vì \(x,y\in N^{\circledast}\Rightarrow100x+43\le100x+100y\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^5\le100\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^4\le100< 4^4\)
\(\Rightarrow x+y< 4\)
Mà \(x+y\ge2\left(x,y\in N^{\circledast}\right)\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=2\\x+y=3\end{matrix}\right.\)
+) \(x+y=2\Rightarrow x=y=1\) ( thỏa mãn )
+) \(x+y=3\)
\(\Rightarrow x=2,y=1\) ( thỏa mãn )
\(\Rightarrow x=1,y=2\) ( không thỏa mãn )
Vậy \(x=y=1\) hoặc \(x=2,y=1\)
Cho tui hỏi này nhé: Câu b bài cuối có phải trog đề thi vào chuyên quốc hx huế ko? Tui chỉ mới thấy qua chứ ko bk có đúng ko thôi? hjhj
Vòng 2 đã kết thúc, các bạn sau đây đã xuất sắc vượt qua vòng 2 và được thi vòng 3: ( thầy @phynit )
1. Đức Cường_21đ ( +1đ vào vòng 3 )
2. @soyeon_Tiểubàng giải_21đ ( +1đ vào vòng 3 )
3. Nguyễn Hải Dương_21đ ( +1đ vào vòng 3 )
4. @Như Khương Nguyễn_21đ ( +1đ vào vòng 3 )
5. Nguyễn Thị Huyền Trang_21đ ( +1đ vào vòng 3 )
6. @Trần Hoàng Nghĩa_21đ ( +1đ vào vòng 3 )
7. @Tran Tho dat_21đ ( +1đ vào vòng 3 )
8. @Bùi Hà Chi_21đ ( +1đ vào vòng 3 )
9. @Phạm Nguyễn Tất Đạt_20,5đ
10. Thảo Phương_20,5đ
11. Nhật Minh_20đ
13. @Feed Là Quyền Công Dân_20đ
Các bạn trên hãy tham gia thi vòng 3 tại 3/6/2017
Chúc các bạn thi tốt!
tui full điểm vòng này mà ko dc cộng hả :3
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Lấy M trên cung nhỏ AC (M khác A, khác C). Dây BM cắt AC tại I. Chứng minh AM2 + MI.MC=AI.AC
Thông báo mở " Vòng 2 - Cuộc thi toán do Nguyễn Huy Tú tổ chức, Lần 2 "
Link làm bài: Vòng 2 | Học trực tuyến
Thời gian: 30/5/2017 - 1/6/2017
Sau vòng 2 sẽ loại 50 bạn có số điểm thấp hơn, bạn nào làm đúng tất cả thì +1đ vào vòng 3
Chúc các bạn thi tốt!
*Mình đăng lại!
Đáp án đề thi vòng 1:
Bài 1:
a, \(A=\dfrac{50-\dfrac{4}{13}+\dfrac{2}{15}-\dfrac{2}{17}}{100-\dfrac{8}{13}+\dfrac{4}{15}-\dfrac{4}{17}}=\dfrac{50-\dfrac{4}{13}+\dfrac{2}{15}-\dfrac{2}{17}}{2\left(50-\dfrac{4}{13}+\dfrac{2}{15}-\dfrac{2}{17}\right)}=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(A=\dfrac{1}{2}\)
b, \(B=\dfrac{1}{19}+\dfrac{9}{19.29}+\dfrac{9}{29.39}+...+\dfrac{9}{1999.2009}\)
\(=\dfrac{9}{9.19}+\dfrac{9}{19.29}+\dfrac{9}{29.39}+...+\dfrac{9}{1999.2009}\)
\(=\dfrac{9}{10}\left(\dfrac{10}{9.19}+\dfrac{10}{19.29}+\dfrac{10}{29.39}+...+\dfrac{10}{1999.2009}\right)\)
\(=\dfrac{9}{10}\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{19}+\dfrac{1}{19}-\dfrac{1}{29}+\dfrac{1}{29}-\dfrac{1}{39}+...+\dfrac{1}{1999}-\dfrac{1}{2009}\right)\)
\(=\dfrac{9}{10}\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{2009}\right)\)
\(=\dfrac{200}{2009}\)
Vậy \(B=\dfrac{200}{2009}\)
Bài 2:
a, Giải:
Ta có: \(\left(\dfrac{b}{3c}\right)^3=\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{3c}.\dfrac{c}{9a}=\dfrac{1}{27}\Rightarrow\left(\dfrac{b}{3c}\right)^3=\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\)
\(\Rightarrow\dfrac{b}{3c}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow b=c\left(đpcm\right)\)
b, Ta có: \(\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{2.4}+\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{4.6}+...+\dfrac{1}{2013.2015}+\dfrac{1}{2014.2016}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{1.3}+\dfrac{2}{2.4}+\dfrac{2}{3.5}+\dfrac{2}{4.6}+...+\dfrac{2}{2013.2015}+\dfrac{2}{2014.2016}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{2}{1.3}+\dfrac{2}{3.5}+...+\dfrac{2}{2013.2015}\right)+\left(\dfrac{2}{2.4}+\dfrac{2}{4.6}+...+\dfrac{2}{2014.2016}\right)\right]\)
\(=\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{2013}-\dfrac{1}{2015}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{2014}-\dfrac{1}{2016}\right)\right]\)
\(=\dfrac{1}{2}\left[\left(1-\dfrac{1}{2015}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2016}\right)\right]\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2015}-\dfrac{1}{2016}\right)=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2.2015}-\dfrac{1}{2.2016}< \dfrac{3}{4}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Bài 3:
a, \(VP=\left(x+y\right)\left(x-y\right)=x^2-xy+xy-y^2=x^2-y^2=VT\)
\(\Rightarrowđpcm\)
b, Giải:
a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác nên \(a+b>c,a+c>b,b+c>a\) ( bất đẳng thức tam giác )
\(\Rightarrow a+b-c>0,a-b+c>0,-a+b+c>0\) (*)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-\left(b-c\right)^2\le a^2\\b^2-\left(c-a\right)^2\le b^2\\c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\le a^2\\\left(b+c-a\right)\left(b-c+a\right)\le b^2\\\left(c+a-b\right)\left(c-a+b\right)\le c^2\end{matrix}\right.\)
Kết hợp (*) ta có: \(\left[\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)\right]^2\le\left(abc\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)\le abc\left(đpcm\right)\)
Vậy \(\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)\le abc\)
Bài 4:
Giải:
Vẽ \(CD\perp BI\) tại D, CD cắt AB tại E
\(\Delta BCE\) cân tại B do BD vừa là đường cao, vừa là đường phân giác
\(\Rightarrow BD\) cũng là đường trung tuyến của \(\Delta BCE\)
\(\Rightarrow BE=BC,CE=2CD\)
Mặt khác: \(\widehat{BIC}=180^o-\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)\)
\(=180^o-\left(\dfrac{\widehat{ABC}}{2}+\dfrac{\widehat{ACB}}{2}\right)=135^o\)
\(\Rightarrow\widehat{DIC}=45^o\Rightarrow\Delta DIC\) vuông cân tại D
Do đó \(CI^2=DI^2+CD^2=2CD^2\)
Ta có: \(AE=BE-AB=BC-AB\)
\(\Delta ACE\) vuông tại A \(\Rightarrow CE^2=AE^2+AC^2\)
\(\Rightarrow4CD^2=\left(BC-AB\right)^2+AC^2\)
\(\Rightarrow2CI^2=\left(BC-AB\right)^2+AC^2\)
\(\Rightarrow CI^2=\dfrac{\left(BC-AB\right)^2+AC^2}{2}\left(đpcm\right)\)
Vậy \(CI^2=\dfrac{\left(BC-AB\right)^2+AC^2}{2}\)
Bài 5:
a, Áp dụng bất đẳng thức \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta có:
\(\left|x-2013\right|+\left|x-2016\right|=\left|x-2013\right|+\left|2016-x\right|\ge x-2013+2016-x=3\)
Kết hợp với giả thiết, ta có:
\(\left|x-2014\right|+\left|y-2015\right|\le0\)
Điều này chỉ xảy ra khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-2014\right|=0\\\left|y-2015\right|=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2014\\y=2015\end{matrix}\right.\)
Thay vào \(\left|x-2013\right|+\left|x-2014\right|+\left|y-2015\right|+\left|x-2016\right|=3\), ta thấy thỏa mãn
Vậy \(x=2014,y=2015\)
b, Giải:
Giả sử không có hai số nào trong 2013 số tự nhiên \(a_1,a_2,...,a_{2013}\) bằng nhau
Do đó, ta có: \(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+...+\dfrac{1}{a_{2013}}\le1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2013}< 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2}=1+1006=1007\)
Mâu thuẫn với giả thiết
Vậy ít nhất hai trong 2013 số tự nhiên đã cho bằng nhau.
bài 1, 2b, 3a, 5b em lm đúng mà, s đc 6 nhể, trình bày sai chỗ nìu ạ
Bài hình ngắn quá, v mà t lm mất ...
Bài 5a dòng thứ 2 thiếu dấu giá trị tuyệt đối
Vậy là vòng 1 trong cuộc thi toán do Nguyễn Huy Tú tổ chức đã qua. Những bạn sau đây là những bạn đã xuất sắc vượt qua vòng 1 và được thi vòng 2:
1. @Lưu Thị Thảo Ly_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )
2. @Như Khương Nguyễn_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )
3. @Bùi Hà Chi_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )
4. @Tran Tho dat_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )
5. Nguyễn Thị Huyền Trang_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )
6. @Nguyễn Phương Trâm_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )
7. @Mai Hà Chi_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )
8. @Phạm Nguyễn Tất Đạt_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )
9. @Trần Hoàng Nghĩa_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )
10. @Nguyễn Xuân Tiến 24_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )
11. NĐT2K4_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )
12. Kuro Kazuya_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )
13. Đức Cường_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )
14. Thảo Phương_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )
15. @Lovers_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )
16. @soyeon_Tiểubàng giải_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )
17. @Ngô Tấn Đạt_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )
18. Nguyễn Hải Dương_20 điểm ( +1 điểm vào vòng 2 )
19. HÀ MINH HIẾU_19,75 điểm 20. Đoàn Đức Hiếu_19,5 điểm 21. ngonhuminh_19,5 điểm 22. DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG_18,25 điểm 23. Đinh Đức Hùng_18 24. Kirigawa Kazuto_18 25. Black Pink_18 26. Nguyễn Thanh Hằng_18 27. Trịnh Trân Trân_18 28. Nhật Minh_18 29. Ace Legona_17,5 30. Hoang Thiên Di_17 31. Mình làm quen với bạn_16 32. Võ Đông Anh Tuấn_15 33. Hiếu Cao Huy_15 34. Feed Là Quyền Công Dân_14,5 35. Hoàng Ngọc Anh_14 36. Mới vô_14 37. Evil Yasuda_13,5 38. Truy kích_13 39. Tâm Trần Huy_12,5 40. lê thị hương giang_12,5 41. Lê Nguyên Hạo_12,25 42. híp_12 43. Trần Thiên Kim_12 44. Dương Yến Tử_12 45. tịnh tịnh_11,5 46. Bastkoo_11 47. Hoàng Tuấn Đăng_10 48. Quê Sóc Trăng_10 49. Phạm Tú Uyên_10 50. Nguyễn Thị Anh_9 51. Nguyễn Tim Khái_9 52. Dương_9 53. Ngọc Lan_8,25 54. Vị Thần Lang Thang_8 55. Phạm Phương Anh_8 56. Alone_8 57. Đào Thị Huyền_8 58. Sherlockichi Kudoyle_8 59. Tuấn Anh Phan Nguyễn_7 60. Trần Hà Quỳnh Như_6 61. Kudo Shinichi_6 62. nguyễn Thị Bích Ngọc_6 63. An Nguyễn_6 Chúc mừng 63 bạn trên đã vượt qua vòng 1, các bạn hãy làm vòng 2 vào ngày 30/5/2017 Chúc các bạn thi tốt!
Hên xui nha ! Có thể cj ko thi vòng hai được vì có chút chuyện
a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình : 2x +9y =2005 (*)
b)chứng minh rằng: x.y\(\le\)55833 trong đó (x,y) là nghiệm nguyên bất kì của (*)
y =2n+1
x+9n=998
x =998-9n
y=2n+1
a) nghiệm là \(\left\{{}\begin{matrix}x=998-9n\\y=2n+1\end{matrix}\right.n\in Z\)
b)P=xy =(998-9n)(2n+1)
P= \(\dfrac{4020025-\left(36n-1987\right)^2}{72}\le\dfrac{4020025}{72}\)
\(n\in Z\Rightarrow max\left(P\right)=\left[{}\begin{matrix}P\left(55\right)\\P\left(56\right)\end{matrix}\right.\)
\(P\left(55\right)=4020025-49=55833\)
\(\dfrac{4020025-841}{72}=55822\)
vậy Max(P) =55833 => dpcm
Cuối học kỳ, một học sinh có 11 bài kiểm tra đạt các điểm 8, 9, 10. Biết tổng điểm các bài kiểm tra là 100. Hỏi học sinh đó có bao nhiêu bài kiểm tra đạt điểm 8, điểm 9, điểm 10
gọi số bài điểm 8;9;10 là x;y;z , áp dụng tính chất tỷ lệ thức ta có:
x+y+z =100
x/8 =y/9=z/10
k = (x+y+z)/(8+9+10) = 100/27= 2,7
x= 8.2,7 = 21,6 bài ( đề cho sai...)
tớ nghĩ đề không sai, hậu duệ anhxtanh học nhiều lại đâm ra rối loạn tạm thời . t bấm máy thử được cái vd thỏa mãn: 3 bài 8đ, 4 bài 9đ và 4 bài 10đ
Gọi số bài 8,9,10 điểm lần lượt là a,b,c (a,b,c thuộc Z+)
Theo đề, ta có hệ pt:
\(\left\{{}\begin{matrix}8a+9b+10c=100\\a+b+c=11\end{matrix}\right.\)
(vấn đề là giải cái thứ này ra, nhưng lực lượng nơ-ron bên này còn non trẻ quá, anh chị nào giải giùm để học hỏi kinh nghiệm với, xin cảm ơn ^^!)