Question

Chứng minh: \(\dfrac{a}{a+bc}+\dfrac{b}{b+ca}+\dfrac{c}{c+ab}\le\dfrac{9}{4}\)

(trong đó a, b, c dương thỏa: a+b+c=1)

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\(\frac{a}{a+bc}=\frac{a}{a(a+b+c)+bc}=\frac{a}{(a+b)(a+c)}\)

Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại thu được:

\(\text{VT}=\frac{a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{2(ab+bc+ac)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\) \((1)\)

Ta để ý bổ đề sau:

\((a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)\)

Chứng minh:

\(\prod(a+b)=(a+b+c)(ab+bc+ac)-abc\geq (a+b+c)(ab+bc+ac)-\frac{(a+b+c)(ab+bc+ac)}{9}=\text{VP}\)

Áp dụng vào bài toán:

\((a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(ab+bc+ac)\) \((2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{9}{4}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)