Cho \(xy+\)\(\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1-y^2\right)}=\sqrt{2017}\)
Tính S=\(x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}\)
Cho \(xy+\)\(\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1-y^2\right)}=\sqrt{2017}\)
Tính S=\(x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}\)
bình phương là thấy ngay ,mà hình như nhầm chỗ 1-y2 =))
Cho tam giác ABC, góc A bằng 90 độ, AH vuông BC, Biết \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}},HC-HB=8\)
a) tính các cạnh của tam giác ABC ?
b) Hình chữ nhật MNIQ nội tiếp tam giác ABC (I,Q thuộc BC ; M thuộc AB ; N thuộc AC). Tìm giá trị lớn nhất của \(S_{MINQ}?\)
Bạn vẽ hình rồi kí hiệu như trên.
a) \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{BH\cdot BC}{CH\cdot BC}=\dfrac{BH}{CH}\)(Cái này áp dụng hệ thức lượng tam giác dạng \(c^2=a\cdot c'\)).
Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{1}{3}\\CH-BH=8\end{matrix}\right.\) => Hiệu số phần bằng nhau là 2.
Ta tính được : \(\left\{{}\begin{matrix}CH=\dfrac{8}{2}\cdot3=12\\BH=\dfrac{12}{3}=4\end{matrix}\right.\) => \(BC=BH+CH=16\).
Có \(\dfrac{AB^2}{AC^2}=\dfrac{1}{3}\), mà \(AB^2+AC^2=BC^2=16^2=256\)
Tổng số phần bằng nhau là 4.
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=\dfrac{256}{4}=64\\AC^2=\dfrac{256}{4}\cdot3=192\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=8\\AC=8\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\Delta ABC\) có \(AB=8,AC=8\sqrt{3},BC=16\).
b)\(S_{MNIQ}=MQ\cdot MN=a\cdot MN\) (kí hiệu như hình).
Trong đó : \(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{8\cdot8\sqrt{3}}{16}=4\sqrt{3}\)
+) \(AD=AH-HD=AH-MQ=4\sqrt{3}-a\)
+) \(MN\)//\(BC\Rightarrow\Delta AMN\) đồng dạng với \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AD}{AH}\Rightarrow MN=\dfrac{BC\cdot AD}{AH}\)
\(=\dfrac{16\cdot\left(4\sqrt{3}-a\right)}{4\sqrt{3}}=\dfrac{4\cdot\left(4\sqrt{3}-a\right)}{\sqrt{3}}\)
=> \(S_{MNIQ}=MQ\cdot MN=a\cdot\left(\dfrac{4\cdot\left(4\sqrt{3}-a\right)}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{16\sqrt{3}a-4a^2}{\sqrt{3}}\)
\(=\dfrac{-\left(4a^2-16\sqrt{3}a\right)}{\sqrt{3}}=-\dfrac{\left[\left(2a-4\sqrt{3}\right)^2-48\right]}{\sqrt{3}}\)
\(=\dfrac{48-\left(2a-4\sqrt{3}\right)^2}{\sqrt{3}}=\dfrac{48}{\sqrt{3}}-\dfrac{\left(2a-4\sqrt{3}\right)^2}{\sqrt{3}}\le\dfrac{48}{\sqrt{3}}=16\sqrt{3}\)
Vậy \(S_{MNIQ-max}=16\sqrt{3}\Leftrightarrow a=2\sqrt{3}\).
Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M=\(\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\)
Áp dụng BĐT cauchy:
\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\ge\dfrac{9}{xy+yz+zx}\)
\(M\ge\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{9}{xy+yz+xz}=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{4}{2\left(xy+yz+xz\right)}+\dfrac{7}{xy+yz+zx}\)Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:
\(\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)
và \(\dfrac{7}{xy+yz+xz}\ge\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}=21\)
\(\Rightarrow M\ge9+21=30\)
dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
cô si cho đễ hiểu đi bn , cần gì phải cauchy s,. làm gì cho mệt
Tìm các số a,b,c nguyên dương thỏa mãn:
\(a^3+5a^2+21=7^b\) và \(a+5=7^c\)
a + 5 = 7c => 5 = 7c - a
Thay vào a3 + 5a2 + 21 = 7b ta được:
a3 + (7c - a).a2 + 21 = 7b
=> a3 + 7c.a2 - a3 + 21 = 7b
=> 7c.a2 + 21 = 7b
=> 7b - 7c.a2 = 21 (1)
=> 7c.(7b-c - a2) = 21 (*)
Từ (1) => 7b > 7c.a2 => b > c => 7b-c nguyên mà a2 nguyên nên 7b-c - a2 nguyên
Kết hợp với (*) => 21 chia hết cho 7c
Mà \(7^c\ge7\) do c nguyên dương nên 7c = 7 => c = 1
Thay vào a + 5 = 7c ta được: a + 5 = 71 => a = 2
Thay c = 1; a = 2 vào (*) ta được: 71.(7b-1 - 22) = 21
=> 7b-1 - 4 = 3
=> 7b-1 = 7 => b - 1 = 1 => b = 2
Vậy a = b = 2; c = 1
Cho tứ giác ABCD có AB = 4 dm, BC = 8 dm, CD = 6 dm, DA = 3 dm, Góc BAD = 800. M là trung điểm AB, N là điểm nằm trên cạnh CD sao cho MN chia tứ giác ABCD thành 2 phần có diện tích bằng nhau. Tính MN ( với 8 chữ số thập phân sau dấu phẩy )
Nếu ax3 = by3 = cz3 và \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)
Chứng minh rằng : \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\)
\(ax^3=by^3=cz^3\Rightarrow\dfrac{ax^2}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{by^2}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{cz^2}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{ax^2+by^2+cz^2}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=ax^2+by^2+cz^2\)
=> \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{ax^3}=\sqrt[3]{by^3}=\sqrt[3]{cz^3}\)
\(=\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{\sqrt[3]{b}}{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{z}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}.\)
Vay \(\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\)\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}.\)
1)Tìm m để hàm số y=\(\dfrac{\left(m-1\right)\sqrt{x-1}+1}{\sqrt{x-1}+m}\)đồng biến trên khoảng (17;37)
Đặt a=\(\sqrt{x-1}\)\(\Rightarrow\)y=\(\dfrac{\left(m-1\right)a+1}{a+m}\) với aϵ(4;6)
y'=\(\dfrac{m\left(m-1\right)-m}{\left(a+m\right)^2}\).....giải bình thường bạn sẽ ra
Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=6\)
Tìm Min của P = \(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\)
Nhớ làm cách dễ hiểu nha!!!
Lời giải:
Ta sẽ CM BĐT trung gian sau:
\(P\geq \frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)
\(\Leftrightarrow x^2\left ( \frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+y} \right )+y^2\left ( \frac{1}{x+z}-\frac{1}{z+y} \right )+z^2\left ( \frac{1}{x+y}-\frac{1}{z+x} \right )\geq 0\)
\(\Leftrightarrow x^2(x^2-z^2)+y^2(y^2-x^2)+z^2(z^2-y^2)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (x^2-y^2)^2+(y^2-z^2)^2+(z^2-x^2)^2\geq 0\) (luôn đúng)
Giờ ta sẽ tìm min \(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)
Hiển nhiên \(\sum \frac{x^2}{x+y}=\sum \frac{y^2}{x+y}\) nên
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{z^2+x^2}{z+x}\right)=A\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(A\geq \frac{1}{2}\frac{(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2})^2}{2(x+y+z)}=\frac{9}{x+y+z}\)
Áp dụng BĐT Cauchy: \(\sqrt{x^2+y^2}\geq \frac{x+y}{\sqrt{2}}\)
Tương tự với các số còn lại suy ra \(6\geq \sqrt{2}.(x+y+z)\Rightarrow x+y+z\leq 3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow A\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}\) kéo theo \(P_{\min}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{2}\)
Vậy là cuộc thi do mình tổ chức lần thứ hai đã chính thức khép lại, sau đây là kết quả của Vòng 3 - vòng chung kết ( thầy @phynit )
1. @Nhật Minh_21đ
2. @Đoàn Đức Hiếu_21đ
3. Đức Cường_20,75đ
4. @Như Khương Nguyễn_20đ
5. Thảo Phương_20đ
6. @Tran Tho dat_20đ
7. Nguyễn Hải Dương_19,75đ
8. @Feed Là Quyền Công Dân_19đ
Các bạn trên đều làm bài rất tốt, 5 bạn còn lại không nộp bài nên mình không có kết quả.
Sau đây là giải thưởng:
1. Giải nhất thuộc về bạn @Nhật Minh
- Chúc mừng bạn đã nhận được thẻ cào 100k + 20 GP
2. Giải nhì thuộc về bạn @Đoàn Đức Hiếu
- Chúc mừng bạn đã nhận được thẻ cào 50k + 15 GP
3. Giải ba thuộc về bạn Đức Cường
- Chúc mừng bạn đã nhận được 15 GP
Cảm ơn các bạn đã ủng hộ cuộc thi của mình, mình sẽ cố gắng hoàn thiện cuộc thi cũng như bản thân để cuộc thi tiếp theo do mình tổ chức sẽ có chất lượng tốt hơn.
Chúc các bạn có một mùa hè vui vẻ!
_Nguyễn Huy Tú_
Cảm ơn bạn Nguyễn Huy Tú đã tổ chức cuộc thi này. Thầy sẽ liên hệ với các bạn đạt giải và trao thưởng!
Tìm nghiệm nguyên cuả phương trình : \(\sqrt{x-2008}-2\sqrt{y-2009}+\sqrt{z-2010}+3012=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)