Toán

Đặt x = a+b , y = b+c , z = c+a

=> \(\begin{cases}a=\frac{x+z-y}{2}\\b=\frac{x+y-z}{2}\\c=\frac{y+z-x}{2}\end{cases}\)

Thay vào tính : \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}+\frac{y+z-x}{2x}\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)\right]-\frac{3}{2}\) 

\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

\(x^2+4mx-4\left(m+1\right)=0\left(1\right)\) \(\Rightarrow\) \(\Delta'=\left(2m+1\right)^2+3>0\) ; \(\forall m\)

pt (1)

luôn có 2 nghiệm phân biệt

\(T=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)

x1 ;x2 là 2 nghiệm của (1) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4m\\x_1x_2=-4\left(m+1\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow T=16m^2+16m+16\)

\(\Leftrightarrow T=16\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+12\ge12\)

\(\Rightarrow T_{min}=12\) đạt được khi m = - \(\dfrac{1}{2}\)

cau a :\(x^2+4mx-4\left(m+1\right)=0\left(1\right)\)

\(\Delta'=\left(2m+1\right)^2+3>0\) ; \(\forall m\) \(\Rightarrow\left(1\right)\)luôn có 2 nghiệm phân biệt

cau b :T =\(\left(x_1-x_2\right)^2=x_1^2+x_2^2-2x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)

lao co \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=-4\left(m+1\right)\end{matrix}\right.thayvaoT\) .(x1 ;x2 là 2 nghiệm của (1) )

\(\Rightarrow T=4m^2+16m+16=\left(2m+4\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\)Tmin = 0 đạt được khi m = -2

a)\(\Delta=\)16m²+16m+16=16(x+\(\dfrac{1}{2}\))²+12>0

=>phương trình có hai nghiệm phân biệt

b)theo vi-ét ,ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-4m\\x_1.x_2=-4\left(m+1\right)\end{matrix}\right.\)

T=(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁.x₂₌(-4m)²+16(m+1)

=16m²+16m+16=16(m+\(\dfrac{1}{2}\))²+8\(\ge8\)

Min_T=8 khi m+\(\dfrac{1}{2}\)=0 hay m=\(\dfrac{-1}{2}\)

Điều kiện: \(x\ge2\)

\(\left(\sqrt{x+1}-2\right)+\left(\sqrt{x-2}-1\right)+\left(3-\sqrt{2x+3}\right)+\left(\sqrt{5x+1}-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}+\dfrac{x-3}{\sqrt{x-2}+1}-\dfrac{2\left(x-3\right)}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{5\left(x-3\right)}{\sqrt{5x+1}+4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{x-2}+1}-\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{5}{\sqrt{5x+1}+4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=3\)

PS: Phần trong ngoặc tự chứng minh nha.

1967

1267

2017

Hai điểm E sao hả bạn?

( Hình của mk ko chính xác lắm nha bn )

Ta có :

\(AD=2AF\) ( F là trung điểm của AD )

\(AD=2AB\)

\(\Rightarrow AB=AF\)

BC = 2BE ; AD = 2AF ; AD = BC

=> BE = AF

Xét tứ giác AFEB ,có :

BE = AF ; BE // AF ( AD // BC )

=> AFEB là hình bình hành

Mà AB = AF

=> AFEB là hình thoi

=> \(AE\perp BF\)

b, AFEB là hình thoi

=> \(\widehat{FAB}=\widehat{BEF}=60^0\) và \(BE=EF\)

ΔBEF ,có : BE = EF => ΔBEF là cân tại E

mà \(\widehat{BEF}=60^0\)

=> ΔBEF là tam giác đều

\(\Rightarrow\widehat{FBE}=\widehat{FEB}\)

Mà \(\widehat{FEB}=\widehat{ECD}\) ( EF // CD // AB )

\(\Rightarrow\widehat{FBE}=\widehat{DCE}\)

=> BDCE là hình thang cân

c, C/m tương tự tứ giác AFEB , ta có : FDCE là hình thoi

=> DE là phân giác của góc FDC

=> \(\widehat{FDE}=\dfrac{1}{2}\widehat{FDC}=\dfrac{1}{2}.120^0=60^0\)

Xét ΔADM ,có :

\(\widehat{DAM}=\widehat{ADM}=60^0\)

=> ΔADM đều

=> DB là đường trung tuyến đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow\widehat{DBM}=90^0\) (1)

Xét tứ giác BMCD ,có :

BM = CD ( BM = AB = CD )

BM // CD ( AB // CD )

=> BMCD là hình bình hành (2)

Từ (1)(2) => BMCD là hình chữ nhật

=> BC cắt MD tại trung điểm mỗi đường

Mà E là trugn điểm của BC

=> E là trugn ddiemr của DM

=> Ba điểm M , E, D thẳng hàng