1. Đối với tam giác đều ABC Khi đường thẳng d đi qua tâm O của tam giác đều, nó sẽ chia 3 đỉnh của tam giác thành 2 phía (một phía chứa 1 đỉnh và phía còn lại chứa 2 đỉnh, trừ trường hợp đường thẳng đi qua một đỉnh thì khoảng cách từ đỉnh đó bằng 0). Quan hệ giữa các độ dài: Độ dài lớn nhất trong 3 đoạn AM, BN, CP sẽ bằng tổng của 2 độ dài còn lại. Ví dụ: Nếu A nằm một phía, B và C nằm một phía đối với đường thẳng d, ta luôn có: AM = BN + CP

2. Đối với các đa giác đều khác (Hình vuông, Ngũ giác, Lục giác) Quy luật này được mở rộng dựa trên nguyên lý: Tổng các khoảng cách từ các đỉnh ở phía bên này của đường thẳng \(d\) luôn bằng tổng các khoảng cách từ các đỉnh ở phía bên kia. Hình vuông ABCD tâm O: Nếu d chia hình vuông thành 2 phía, mỗi phía 2 đỉnh (ví dụ A, B một phía; C, D một phía): AM + BN = CP + DQ Nếu d cắt hai cạnh đối (ví dụ A một phía, B, C, D phía còn lại): AM = BN + CP + DQ Hình ngũ giác đều ABCDE tâm O: Luôn chia thành một phía 2 đỉnh, một phía 3 đỉnh. Tổng khoảng cách 2 đỉnh phía này bằng tổng khoảng cách 3 đỉnh phía kia. Ví dụ: AM + BN = CP + DQ + EK Hình lục giác đều ABCDEF tâm O: Tương tự hình vuông, tổng khoảng cách các đỉnh phía bên này bằng tổng khoảng cách các đỉnh phía bên kia: AM + BN + CP = DQ + EK + FH (hoặc tùy theo số lượng đỉnh mỗi phía).

`S = sinx + sin(x+a) + sin(x+2a) + sin(x+3a) + sin(x+4a)`

`=> S= [sinx + sin(x+4a)] + [sin(x+a) + sin(x+3a)] + sin(x+2a)`

`=> S = 2*sin(x+2a)*cos2a + 2*sin(x+2a)*cosa + sin(x+2a)`

`=> S = sin(x+2a)*(2cos2a + 2cosa + 1)`

`=> S= sin(x+2a)*(4cos^2 a - 2 + 2cos a +1)

vì `sin(x+2a)` có tập giá trị là `[-1 ;1]` thay đổi theo `x` nên để `S` ko phu thuộc vào `x`<=> 4cos^2 a -+2cosa -1 = 0`

`<=>`\(\begin{cases}cosa=\frac{-1+\sqrt5}{4}\\ cosa=\frac{-1-\sqrt5}{4}\end{cases}\)

`<=>`\(\begin{cases}a=\frac{2\pi}{5}\\ a=\frac{4\pi}{5}\end{cases}\)

Mà cả `2` nghiệm đều thỏa mãn \(0

`=> a∈`\(\left\lbrace\frac{2\pi}{5};\frac{4\pi}{5}\right\rbrace\)

`=>` chọn `B`

Xét ΔABC có \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^0\)

=>\(\hat{A}+\hat{B}=180^0-\hat{C};\hat{B}+\hat{C}=180^0-\hat{A};\hat{A}+\hat{C}=180^0-\hat{B}\)

=>cos(A+B)=-cosC

\(\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = \frac{1 - \cos 2A}{2} + \frac{1 - \cos 2B}{2} + \sin^2 C\)

\(= 1 - \frac{1}{2}(\cos 2A + \cos 2B) + (1 - \cos^2 C)\)

\(= 2 - \cos(A+B)\cos(A-B) - \cos^2 C\)

\(= 2 + \cos C \cos(A-B) - \cos^2 C = 2 + \cos C \left[ \cos(A-B) - \cos C \right]\)

\(= 2 + \cos C \left[ \cos(A-B) + \cos(A+B) \right] = 2 + \cos C \cdot (2 \cos A \cos B) = 2 + 2 \cos A \cos B \cos C\)

=>\(P = (\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C) - 2 \cos A \cos B \cos C = (2 + 2 \cos A \cos B \cos C) - 2 \cos A \cos B \cos C = 2\)

=>Chọn C

a: \(\left(2x-1\right)^2=49\)

=>\(\left[\begin{array}{l}2x-1=7\\ 2x-1=-7\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}2x=8\\ 2x=-6\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=4\\ x=-3\end{array}\right.\)

b: (x-2)(3x+5)=(2x-4)(x+1)

=>(x-2)(3x+5)=(x-2)(2x+2)

=>(x-2)(3x+5-2x-2)=0

=>(x-2)(x+3)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-2=0\\ x+3=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-3\end{array}\right.\)

c: \(\left(2x+5\right)\left(x-4\right)=\left(x-5\right)\left(4-x\right)\)

=>\(\left(2x+5\right)\left(x-4\right)=\left(-x+5\right)\left(x-4\right)\)

=>\(\left(2x+5\right)\left(x-4\right)-\left(-x+5\right)\left(x-4\right)=0\)

=>(x-4)(2x+5+x-5)=0

=>3x(x-4)=0

=>x(x-4)=0

=>x=0 hoặc x=4

d: \(2\left(9x^2+6x+1\right)=\left(3x+1\right)\left(x-2\right)\)

=>\(2\left(3x+1\right)^2=\left(3x+1\right)\left(x-2\right)\)

=>\(\left(3x+1\right)\left(6x+2-x+2\right)=0\)

=>(3x+1)(5x+4)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}3x+1=0\\ 5x+4=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\frac13\\ x=-\frac45\end{array}\right.\)

e: \(\left(2x+7\right)^2=9\left(x+2\right)^2\)

=>\(\left(3x+6\right)^2=\left(2x+7\right)^2\)

=>\(\left(3x+6\right)^2-\left(2x+7\right)^2=0\)

=>(3x+6+2x+7)(3x+6-2x-7)=0

=>(x-1)(5x+13)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-1=0\\ 5x+13=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-\frac{13}{5}\end{array}\right.\)

f: \(27x^2\left(x+3\right)-12\left(x^2+3x\right)=0\)

=>\(27x^2\left(x+3\right)-12x\left(x+3\right)=0\)

=>x(x+3)(27x-12)=0

=>x(x+3)(9x-4)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x=0\\ x+3=0\\ 9x-4=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-3\\ x=\frac49\end{array}\right.\)

g: \(16x^2-8x+1=4\left(x+3\right)\left(4x-1\right)\)

=>\(\left(4x-1\right)^2-\left(4x-1\right)\left(4x+12\right)=0\)

=>(4x-1)(4x-1-4x-12)=0

=>-13(4x-1)=0

=>4x-1=0

=>4x=1

=>x=1/4

h: \(\left(5x^2-2x+10\right)^2=\left(3x^2+10x-8\right)^2\)

=>\(\left(5x^2-2x+10-3x^2-10x+8\right)\left(5x^2-2x+10+3x^2+10x-8\right)=0\)

=>\(\left(2x^2-12x+18\right)\left(8x^2+8x+2\right)=0\)

=>\(2\left(x^2-6x+9\right)\cdot2\cdot\left(4x^2+4x+1\right)=0\)

=>\(\left(x-3\right)^2\cdot\left(2x+1\right)^2=0\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-3=0\\ 2x+1=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=3\\ x=-\frac12\end{array}\right.\)

a: ĐKXĐ: x<>5

\(\frac{4x-3}{x-5}=\frac{29}{3}\)

=>3(4x-3)=29(x-5)

=>29x-145=12x-9

=>17x=-9+145=136

=>x=8(nhận)

b: ĐKXĐ: x<>5/3

\(\frac{2x-1}{5-3x}=2\)

=>2(5-3x)=2x-1

=>10-6x=2x-1

=>-8x=-11

=>\(x=\frac{11}{8}\) (nhận)

c: ĐKXĐ: x<>1

\(\frac{4x-5}{x-1}=2+\frac{x}{x-1}\)

=>\(\frac{4x-5}{x-1}=\frac{2x-2+x}{x-1}=\frac{3x-2}{x-1}\)

=>4x-5=3x-2

=>4x-3x=-2+5

=>x=3(nhận)

d: ĐKXĐ: x∉{-2;5}

\(\frac{7}{x+2}=\frac{3}{x-5}\)

=>7(x-5)=3(x+2)

=>7x-35=3x+6

=>4x=41

=>x=41/4(nhận)

e: ĐKXĐ: x∉{0;-5}

\(\frac{2x+5}{2x}-\frac{x}{x+5}=0\)

=>\(\frac{\left(2x+5\right)\left(x+5\right)-2x^2}{2x\left(x+5\right)}=0\)

=>\(\left(2x+5\right)\left(x+5\right)-2x^2=0\)

=>\(2x^2+10x+5x+25-2x^2=0\)

=>15x=-25

=>\(x=-\frac53\) (nhận)

f: ĐKXĐ: x<>4/11

\(\frac{12x+1}{11x-4}+\frac{10x-4}{9}=\frac{20x+17}{18}\)

=>\(\frac{12x+1}{11x-4}=\frac{20x+17}{18}-\frac{10x-4}{9}=\frac{20x+17-20x+8}{18}=\frac{25}{18}\)

=>25(11x-4)=18(12x+1)

=>275x-100=216x+18

=>59x=118

=>x=2(nhận)

Bài 3:

a: (x+2)(x-3)=6

=>\(x^2-x-6=6\)

=>\(x^2-x-12=0\)

=>(x-4)(x+3)=0

=>x=4 hoặc x=-3

b: (2x+1)(x+2)=2

=>\(2x^2+4x+x+2=2\)

=>\(2x^2+5x=0\)

=>x(2x+5)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x=0\\ 2x+5=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-\frac52\end{array}\right.\)

c:(x+4)(x+3)=2

=>\(x^2+3x+4x+12-2=0\)

=>\(x^2+7x+10=0\)

=>(x+2)(x+5)=0

=>x=-2 hoặc x=-5

d: (2x+5)(3-x)=14

=>\(6x-2x^2+15-5x=14\)

=>\(-2x^2+x+1=0\)

=>\(2x^2-x-1=0\)

=>\(2x^2-2x+x-1=0\)

=>(x-1)(2x+1)=0

=>x=1 hoặc x=-1/2

Bài 4:

a: \(\left(x+5\right)^2-\left(x+5\right)\left(2x+3\right)=0\)

=>(x+5)(x+5-2x-3)=0

=>(x+5)(2-x)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x+5=0\\ 2-x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-5\\ x=2\end{array}\right.\)

b: \(\left(-3x+5\right)\left(3x-2\right)+\left(3x-2\right)^2=0\)

=>\(\left(3x-2\right)\left(-3x+5+3x-2\right)=0\)

=>3(3x-2)=0

=>3x-2=0

=>3x=2

=>x=2/3

c: \(\left(4-5x\right)\left(3x+\frac12\right)+\left(3x+\frac12\right)^2=0\)

=>\(\left(3x+\frac12\right)\cdot\left(4-5x+3x+\frac12\right)=0\)

=>\(\left(3x+\frac12\right)\left(\frac92-2x\right)=0\)

=>\(\left[\begin{array}{l}3x+\frac12=0\\ \frac92-2x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}3x=-\frac12\\ 2x=\frac92\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\frac16\\ x=\frac94\end{array}\right.\)

d: \(\left(\frac37+5x\right)\left(-3x-7\right)-\left(-3x-7\right)^2=0\)

=>\(\left(-3x-7\right)\left(5x+\frac37+3x+7\right)=0\)

=>(-3x-7)*(8x+52/7)=0

=>(3x+7)*(8x+52/7)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}3x+7=0\\ 8x+\frac{52}{7}=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}3x=-7\\ 8x=-\frac{52}{7}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\frac73\\ x=-\frac{52}{7}:8=-\frac{52}{56}=-\frac{13}{14}\end{array}\right.\)

Xét ΔBEC vuông tại E và ΔBHN vuông tại H có

\(\hat{EBC}\) chung

Do đó: ΔBEC~ΔBHN

=>\(\frac{BE}{BH}=\frac{BC}{BN}\)

=>\(BE\cdot BN=BH\cdot BC\left(1\right)\)

Xét ΔBAC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2=BG^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(BG^2=BE\cdot BN\)

=>\(\frac{BG}{BE}=\frac{BN}{BG}\)

Xét ΔBGN và ΔBEG có

\(\frac{BG}{BE}=\frac{BN}{BG}\)

góc GBN chung

Do đó: ΔBGN~ΔBEG

=>\(\hat{BGN}=\hat{BEG}=90^0\)

=>GB⊥GN

1: Xét tứ giác ABCD có O là trung điểm chung của AC và BD

=>ABCD là hình bình hành

2: ABCD là hình bình hành

=>AD//CB

=>AD//CH

=>AHCD là hình thang

Hình thang AHCD có AH⊥HC

nên AHCD là hình thang vuông

3: Ta có: \(AE=EB=\frac{AB}{2}\)

\(AO=OC=\frac{AC}{2}\)

mà AB=AC

nên AE=EB=AO=OC

ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

Xét ΔCAB có

O,H lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>OH là đường trung bình của ΔCAB

=>OH//AB và \(OH=\frac{AB}{2}=AE=EB\)

Xét tứ giác AEHO có

AE//HO

AE=HO

Do đó: AEHO là hình bình hành

Hình bình hành AEHO có AE=AO

nên AEHO là hình thoi

Hình thoi AEHO có \(\hat{EAO}=90^0\)

nên AEHO là hình vuông

1: Xét tứ giác ABCD có O là trung điểm chung của AC và BD =>ABCD là hình bình hành 2: ABCD là hình bình hành =>AD//CB =>AD//CH =>AHCD là hình thang Hình thang AHCD có AH⊥HC nên AHCD là hình thang vuông 3: Ta có: A E = E B = A B 2 A O = O C = A C 2 mà AB=AC nên AE=EB=AO=OC ΔABC cân tại A mà AH là đường cao nên H là trung điểm của BC Xét ΔCAB có O,H lần lượt là trung điểm của CA,CB =>OH là đường trung bình của ΔCAB =>OH//AB và O H = A B 2 = A E = E B Xét tứ giác AEHO có AE//HO AE=HO Do đó: AEHO là hình bình hành Hình bình hành AEHO có AE=AO nên AEHO là hình thoi Hình thoi AEHO có ^ E A O = 90 0 nên AEHO là hình vuông

1: Xét tứ giác MKHI có \(\hat{MKH}=\hat{MIH}=\hat{KMI}=90^0\)

nên MKHI là hình chữ nhật

3: Hình chữ nhật MKHI trở thành hình vuông khi MH là phân giác của góc KMI

=>MH là phân giác của góc NMP

Xét ΔMNP có

MH là đường cao

MH là đường phân giác

Do đó: ΔMNP cân tại M

=>MN=MP

1: Xét tứ giác MKHI có ^ M K H = ^ M I H = ^ K M I = 90 0 nên MKHI là hình chữ nhật 3: Hình chữ nhật MKHI trở thành hình vuông khi MH là phân giác của góc KMI =>MH là phân giác của góc NMP Xét ΔMNP có MH là đường cao MH là đường phân giác Do đó: ΔMNP cân tại M =>MN=MP

70.000