ĐKXĐ: x∉{0;2}

\(\frac{x+2}{x}=\frac{2x+3}{2\left(x-2\right)}\)

=>x(2x+3)=2(x-2)(x+2)

=>\(2x^2+3x=2\left(x^2-4\right)=2x^2-8\)

=>3x=-8

=>\(x=-\frac83\) (nhận)

ĐKXĐ: x∉{0;2} x + 2 x = 2 x + 3 2 ( x − 2 ) =>x(2x+3)=2(x-2)(x+2) => 2 x 2 + 3 x = 2 ( x 2 − 4 ) = 2 x 2 − 8 =>3x=-8 => x = − 8 3 (nhận)

Các bước giải chi tiết: 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): \(x\ne 0\) và \(x\ne 2\) 2. Quy đồng mẫu và khử mẫu: \(\frac{2(x-2)(x+2)}{2x(x-2)}=\frac{x(2x+3)}{2x(x-2)}\)Khử mẫu ta được: \(2(x-2)(x+2)=x(2x+3)\) 3. Khai triển và rút gọn phương trình: \(2(x^{2}-4)=2x^{2}+3x\) \(2x^{2}-8=2x^{2}+3x\) \(3x=-8\) \(x=-\frac{8}{3}\) 4. Kết luận: So sánh với điều kiện xác định (\(x\ne 0\) và \(x\ne 2\)), ta thấy \(x=-\frac{8}{3}\) thỏa mãn.Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ -\frac{8}{3} \right\}\)

1. Đối với tam giác đều ABC Khi đường thẳng d đi qua tâm O của tam giác đều, nó sẽ chia 3 đỉnh của tam giác thành 2 phía (một phía chứa 1 đỉnh và phía còn lại chứa 2 đỉnh, trừ trường hợp đường thẳng đi qua một đỉnh thì khoảng cách từ đỉnh đó bằng 0). Quan hệ giữa các độ dài: Độ dài lớn nhất trong 3 đoạn AM, BN, CP sẽ bằng tổng của 2 độ dài còn lại. Ví dụ: Nếu A nằm một phía, B và C nằm một phía đối với đường thẳng d, ta luôn có: AM = BN + CP

2. Đối với các đa giác đều khác (Hình vuông, Ngũ giác, Lục giác) Quy luật này được mở rộng dựa trên nguyên lý: Tổng các khoảng cách từ các đỉnh ở phía bên này của đường thẳng \(d\) luôn bằng tổng các khoảng cách từ các đỉnh ở phía bên kia. Hình vuông ABCD tâm O: Nếu d chia hình vuông thành 2 phía, mỗi phía 2 đỉnh (ví dụ A, B một phía; C, D một phía): AM + BN = CP + DQ Nếu d cắt hai cạnh đối (ví dụ A một phía, B, C, D phía còn lại): AM = BN + CP + DQ Hình ngũ giác đều ABCDE tâm O: Luôn chia thành một phía 2 đỉnh, một phía 3 đỉnh. Tổng khoảng cách 2 đỉnh phía này bằng tổng khoảng cách 3 đỉnh phía kia. Ví dụ: AM + BN = CP + DQ + EK Hình lục giác đều ABCDEF tâm O: Tương tự hình vuông, tổng khoảng cách các đỉnh phía bên này bằng tổng khoảng cách các đỉnh phía bên kia: AM + BN + CP = DQ + EK + FH (hoặc tùy theo số lượng đỉnh mỗi phía).

`S = sinx + sin(x+a) + sin(x+2a) + sin(x+3a) + sin(x+4a)`

`=> S= [sinx + sin(x+4a)] + [sin(x+a) + sin(x+3a)] + sin(x+2a)`

`=> S = 2*sin(x+2a)*cos2a + 2*sin(x+2a)*cosa + sin(x+2a)`

`=> S = sin(x+2a)*(2cos2a + 2cosa + 1)`

`=> S= sin(x+2a)*(4cos^2 a - 2 + 2cos a +1)

vì `sin(x+2a)` có tập giá trị là `[-1 ;1]` thay đổi theo `x` nên để `S` ko phu thuộc vào `x`<=> 4cos^2 a -+2cosa -1 = 0`

`<=>`\(\begin{cases}cosa=\frac{-1+\sqrt5}{4}\\ cosa=\frac{-1-\sqrt5}{4}\end{cases}\)

`<=>`\(\begin{cases}a=\frac{2\pi}{5}\\ a=\frac{4\pi}{5}\end{cases}\)

Mà cả `2` nghiệm đều thỏa mãn \(0

`=> a∈`\(\left\lbrace\frac{2\pi}{5};\frac{4\pi}{5}\right\rbrace\)

`=>` chọn `B`

Bước 1: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích Biểu thức ban đầu: \(S=\sin x+\sin (x+a)+\sin (x+2a)+\sin (x+3a)+\sin (x+4a)\) Nhóm các cặp số hạng đối xứng (số hạng đầu với cuối, số hạng thứ hai với thứ tư): \(S=[\sin x+\sin (x+4a)]+[\sin (x+a)+\sin (x+3a)]+\sin (x+2a)\) Áp dụng công thức \(\sin u + \sin v = 2 \sin\left(\frac{u+v}{2}\right) \cos\left(\frac{u-v}{2}\right)\): • \(\sin x + \sin(x + 4a) = 2 \sin(x + 2a) \cos(2a)\) • \(\sin(x + a) + \sin(x + 3a) = 2 \sin(x + 2a) \cos a\) Thay vào biểu thức \(S\): \(S=2\sin (x+2a)\cos (2a)+2\sin (x+2a)\cos a+\sin (x+2a)\) \(S=\sin (x+2a)\cdot [2\cos (2a)+2\cos a+1]\) Bước 2: Biện luận để biểu thức \(S\) không phụ thuộc vào \(x\) Để giá trị của \(S\) độc lập và không thay đổi theo biến \(x\), thừa số chứa \(x\) phải bị triệt tiêu. Điều này xảy ra khi và chỉ khi: \(2\cos (2a)+2\cos a+1=0\) Sử dụng công thức nhân đôi \(\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1\): \(2(2\cos ^{2}a-1)+2\cos a+1=0\) \(\Leftrightarrow 4\cos ^{2}a+2\cos a-1=0\) Giải phương trình bậc hai theo \(\cos a\): \(\cos a=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{4}\) Bước 3: Tìm giá trị của \(a\) trong khoảng \((0; \pi)\) Chúng ta biết các giá trị lượng giác đặc biệt của góc ngũ giác: • \(\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}\) • \(\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4}\) Cả hai giá trị \(a = \frac{2\pi}{5}\) và \(a = \frac{4\pi}{5}\) đều thỏa mãn điều kiện đề bài \(0 < a < \pi\). Khi đó, biểu thức \(S = 0\) với mọi \(x\) (hoàn toàn không phụ thuộc vào \(x\)).

Xét ΔABC có \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^0\)

=>\(\hat{A}+\hat{B}=180^0-\hat{C};\hat{B}+\hat{C}=180^0-\hat{A};\hat{A}+\hat{C}=180^0-\hat{B}\)

=>cos(A+B)=-cosC

\(\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = \frac{1 - \cos 2A}{2} + \frac{1 - \cos 2B}{2} + \sin^2 C\)

\(= 1 - \frac{1}{2}(\cos 2A + \cos 2B) + (1 - \cos^2 C)\)

\(= 2 - \cos(A+B)\cos(A-B) - \cos^2 C\)

\(= 2 + \cos C \cos(A-B) - \cos^2 C = 2 + \cos C \left[ \cos(A-B) - \cos C \right]\)

\(= 2 + \cos C \left[ \cos(A-B) + \cos(A+B) \right] = 2 + \cos C \cdot (2 \cos A \cos B) = 2 + 2 \cos A \cos B \cos C\)

=>\(P = (\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C) - 2 \cos A \cos B \cos C = (2 + 2 \cos A \cos B \cos C) - 2 \cos A \cos B \cos C = 2\)

=>Chọn C

a: \(\left(2x-1\right)^2=49\)

=>\(\left[\begin{array}{l}2x-1=7\\ 2x-1=-7\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}2x=8\\ 2x=-6\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=4\\ x=-3\end{array}\right.\)

b: (x-2)(3x+5)=(2x-4)(x+1)

=>(x-2)(3x+5)=(x-2)(2x+2)

=>(x-2)(3x+5-2x-2)=0

=>(x-2)(x+3)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-2=0\\ x+3=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-3\end{array}\right.\)

c: \(\left(2x+5\right)\left(x-4\right)=\left(x-5\right)\left(4-x\right)\)

=>\(\left(2x+5\right)\left(x-4\right)=\left(-x+5\right)\left(x-4\right)\)

=>\(\left(2x+5\right)\left(x-4\right)-\left(-x+5\right)\left(x-4\right)=0\)

=>(x-4)(2x+5+x-5)=0

=>3x(x-4)=0

=>x(x-4)=0

=>x=0 hoặc x=4

d: \(2\left(9x^2+6x+1\right)=\left(3x+1\right)\left(x-2\right)\)

=>\(2\left(3x+1\right)^2=\left(3x+1\right)\left(x-2\right)\)

=>\(\left(3x+1\right)\left(6x+2-x+2\right)=0\)

=>(3x+1)(5x+4)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}3x+1=0\\ 5x+4=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\frac13\\ x=-\frac45\end{array}\right.\)

e: \(\left(2x+7\right)^2=9\left(x+2\right)^2\)

=>\(\left(3x+6\right)^2=\left(2x+7\right)^2\)

=>\(\left(3x+6\right)^2-\left(2x+7\right)^2=0\)

=>(3x+6+2x+7)(3x+6-2x-7)=0

=>(x-1)(5x+13)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-1=0\\ 5x+13=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-\frac{13}{5}\end{array}\right.\)

f: \(27x^2\left(x+3\right)-12\left(x^2+3x\right)=0\)

=>\(27x^2\left(x+3\right)-12x\left(x+3\right)=0\)

=>x(x+3)(27x-12)=0

=>x(x+3)(9x-4)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x=0\\ x+3=0\\ 9x-4=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-3\\ x=\frac49\end{array}\right.\)

g: \(16x^2-8x+1=4\left(x+3\right)\left(4x-1\right)\)

=>\(\left(4x-1\right)^2-\left(4x-1\right)\left(4x+12\right)=0\)

=>(4x-1)(4x-1-4x-12)=0

=>-13(4x-1)=0

=>4x-1=0

=>4x=1

=>x=1/4

h: \(\left(5x^2-2x+10\right)^2=\left(3x^2+10x-8\right)^2\)

=>\(\left(5x^2-2x+10-3x^2-10x+8\right)\left(5x^2-2x+10+3x^2+10x-8\right)=0\)

=>\(\left(2x^2-12x+18\right)\left(8x^2+8x+2\right)=0\)

=>\(2\left(x^2-6x+9\right)\cdot2\cdot\left(4x^2+4x+1\right)=0\)

=>\(\left(x-3\right)^2\cdot\left(2x+1\right)^2=0\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-3=0\\ 2x+1=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=3\\ x=-\frac12\end{array}\right.\)

a: ĐKXĐ: x<>5

\(\frac{4x-3}{x-5}=\frac{29}{3}\)

=>3(4x-3)=29(x-5)

=>29x-145=12x-9

=>17x=-9+145=136

=>x=8(nhận)

b: ĐKXĐ: x<>5/3

\(\frac{2x-1}{5-3x}=2\)

=>2(5-3x)=2x-1

=>10-6x=2x-1

=>-8x=-11

=>\(x=\frac{11}{8}\) (nhận)

c: ĐKXĐ: x<>1

\(\frac{4x-5}{x-1}=2+\frac{x}{x-1}\)

=>\(\frac{4x-5}{x-1}=\frac{2x-2+x}{x-1}=\frac{3x-2}{x-1}\)

=>4x-5=3x-2

=>4x-3x=-2+5

=>x=3(nhận)

d: ĐKXĐ: x∉{-2;5}

\(\frac{7}{x+2}=\frac{3}{x-5}\)

=>7(x-5)=3(x+2)

=>7x-35=3x+6

=>4x=41

=>x=41/4(nhận)

e: ĐKXĐ: x∉{0;-5}

\(\frac{2x+5}{2x}-\frac{x}{x+5}=0\)

=>\(\frac{\left(2x+5\right)\left(x+5\right)-2x^2}{2x\left(x+5\right)}=0\)

=>\(\left(2x+5\right)\left(x+5\right)-2x^2=0\)

=>\(2x^2+10x+5x+25-2x^2=0\)

=>15x=-25

=>\(x=-\frac53\) (nhận)

f: ĐKXĐ: x<>4/11

\(\frac{12x+1}{11x-4}+\frac{10x-4}{9}=\frac{20x+17}{18}\)

=>\(\frac{12x+1}{11x-4}=\frac{20x+17}{18}-\frac{10x-4}{9}=\frac{20x+17-20x+8}{18}=\frac{25}{18}\)

=>25(11x-4)=18(12x+1)

=>275x-100=216x+18

=>59x=118

=>x=2(nhận)

Bài 3:

a: (x+2)(x-3)=6

=>\(x^2-x-6=6\)

=>\(x^2-x-12=0\)

=>(x-4)(x+3)=0

=>x=4 hoặc x=-3

b: (2x+1)(x+2)=2

=>\(2x^2+4x+x+2=2\)

=>\(2x^2+5x=0\)

=>x(2x+5)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x=0\\ 2x+5=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-\frac52\end{array}\right.\)

c:(x+4)(x+3)=2

=>\(x^2+3x+4x+12-2=0\)

=>\(x^2+7x+10=0\)

=>(x+2)(x+5)=0

=>x=-2 hoặc x=-5

d: (2x+5)(3-x)=14

=>\(6x-2x^2+15-5x=14\)

=>\(-2x^2+x+1=0\)

=>\(2x^2-x-1=0\)

=>\(2x^2-2x+x-1=0\)

=>(x-1)(2x+1)=0

=>x=1 hoặc x=-1/2

Bài 4:

a: \(\left(x+5\right)^2-\left(x+5\right)\left(2x+3\right)=0\)

=>(x+5)(x+5-2x-3)=0

=>(x+5)(2-x)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x+5=0\\ 2-x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-5\\ x=2\end{array}\right.\)

b: \(\left(-3x+5\right)\left(3x-2\right)+\left(3x-2\right)^2=0\)

=>\(\left(3x-2\right)\left(-3x+5+3x-2\right)=0\)

=>3(3x-2)=0

=>3x-2=0

=>3x=2

=>x=2/3

c: \(\left(4-5x\right)\left(3x+\frac12\right)+\left(3x+\frac12\right)^2=0\)

=>\(\left(3x+\frac12\right)\cdot\left(4-5x+3x+\frac12\right)=0\)

=>\(\left(3x+\frac12\right)\left(\frac92-2x\right)=0\)

=>\(\left[\begin{array}{l}3x+\frac12=0\\ \frac92-2x=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}3x=-\frac12\\ 2x=\frac92\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\frac16\\ x=\frac94\end{array}\right.\)

d: \(\left(\frac37+5x\right)\left(-3x-7\right)-\left(-3x-7\right)^2=0\)

=>\(\left(-3x-7\right)\left(5x+\frac37+3x+7\right)=0\)

=>(-3x-7)*(8x+52/7)=0

=>(3x+7)*(8x+52/7)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}3x+7=0\\ 8x+\frac{52}{7}=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}3x=-7\\ 8x=-\frac{52}{7}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\frac73\\ x=-\frac{52}{7}:8=-\frac{52}{56}=-\frac{13}{14}\end{array}\right.\)

Xét ΔBEC vuông tại E và ΔBHN vuông tại H có

\(\hat{EBC}\) chung

Do đó: ΔBEC~ΔBHN

=>\(\frac{BE}{BH}=\frac{BC}{BN}\)

=>\(BE\cdot BN=BH\cdot BC\left(1\right)\)

Xét ΔBAC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2=BG^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(BG^2=BE\cdot BN\)

=>\(\frac{BG}{BE}=\frac{BN}{BG}\)

Xét ΔBGN và ΔBEG có

\(\frac{BG}{BE}=\frac{BN}{BG}\)

góc GBN chung

Do đó: ΔBGN~ΔBEG

=>\(\hat{BGN}=\hat{BEG}=90^0\)

=>GB⊥GN

1: Xét tứ giác ABCD có O là trung điểm chung của AC và BD

=>ABCD là hình bình hành

2: ABCD là hình bình hành

=>AD//CB

=>AD//CH

=>AHCD là hình thang

Hình thang AHCD có AH⊥HC

nên AHCD là hình thang vuông

3: Ta có: \(AE=EB=\frac{AB}{2}\)

\(AO=OC=\frac{AC}{2}\)

mà AB=AC

nên AE=EB=AO=OC

ΔABC cân tại A

mà AH là đường cao

nên H là trung điểm của BC

Xét ΔCAB có

O,H lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>OH là đường trung bình của ΔCAB

=>OH//AB và \(OH=\frac{AB}{2}=AE=EB\)

Xét tứ giác AEHO có

AE//HO

AE=HO

Do đó: AEHO là hình bình hành

Hình bình hành AEHO có AE=AO

nên AEHO là hình thoi

Hình thoi AEHO có \(\hat{EAO}=90^0\)

nên AEHO là hình vuông

1: Xét tứ giác ABCD có O là trung điểm chung của AC và BD =>ABCD là hình bình hành 2: ABCD là hình bình hành =>AD//CB =>AD//CH =>AHCD là hình thang Hình thang AHCD có AH⊥HC nên AHCD là hình thang vuông 3: Ta có: A E = E B = A B 2 A O = O C = A C 2 mà AB=AC nên AE=EB=AO=OC ΔABC cân tại A mà AH là đường cao nên H là trung điểm của BC Xét ΔCAB có O,H lần lượt là trung điểm của CA,CB =>OH là đường trung bình của ΔCAB =>OH//AB và O H = A B 2 = A E = E B Xét tứ giác AEHO có AE//HO AE=HO Do đó: AEHO là hình bình hành Hình bình hành AEHO có AE=AO nên AEHO là hình thoi Hình thoi AEHO có ^ E A O = 90 0 nên AEHO là hình vuông

1: Xét tứ giác MKHI có \(\hat{MKH}=\hat{MIH}=\hat{KMI}=90^0\)

nên MKHI là hình chữ nhật

3: Hình chữ nhật MKHI trở thành hình vuông khi MH là phân giác của góc KMI

=>MH là phân giác của góc NMP

Xét ΔMNP có

MH là đường cao

MH là đường phân giác

Do đó: ΔMNP cân tại M

=>MN=MP

1: Xét tứ giác MKHI có ^ M K H = ^ M I H = ^ K M I = 90 0 nên MKHI là hình chữ nhật 3: Hình chữ nhật MKHI trở thành hình vuông khi MH là phân giác của góc KMI =>MH là phân giác của góc NMP Xét ΔMNP có MH là đường cao MH là đường phân giác Do đó: ΔMNP cân tại M =>MN=MP