Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại A

=>AB⊥AC

mà OI⊥AB

nên OI//AC

Xét ΔBAC có OI//AC
nên \(\frac{OI}{AC}=\frac{BO}{BC}\)

=>\(\frac{3}{AC}=\frac12\)

=>AC=6(cm)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AB^2=10^2-6^2=100-36=64=8^2\)

=>AB=8(cm)

a: Ta có: ΔOAC cân tại O

=>\(\hat{AOC}=180^0-2\cdot\hat{OAC}\) (1)

Ta có: ΔOBD cân tại O

=>\(\hat{BOD}=180^0-2\cdot\hat{OBD}\) (2)

AC//BD

=>\(\hat{OAC}=\hat{OBD}\) (hai góc so le trong)(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\hat{AOC}=\hat{BOD}\)

Xét ΔAOC và ΔBOD có

OA=OB

\(\hat{AOC}=\hat{BOD}\)

OC=OD

Do đó: ΔAOC=ΔBOD

=>AC=BD

b: Ta có: \(\hat{AOC}=\hat{BOD}\)

mà \(\hat{AOC}+\hat{BOC}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{BOD}+\hat{BOC}=180^0\)

=>D,O,C thẳng hàng

12: ΔBHA vuông tại H

=>\(AH^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AH^2=6^2-2^2=36-4=32\)

=>\(AH=4\sqrt2\) (cm)

ΔOAD cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của AD

=>\(DH=HA=4\sqrt2\) (cm)

9: ΔOAB cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của AB

=>\(HA=HB=\frac{32}{2}=16\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔOHA vuông tại H

=>\(OH^2+HA^2=OA^2\)

=>\(OH^2=20^2-16^2=400-256=144=12^2\)

=>OH=12(cm)

10: ΔOMN cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của MN

=>HM=HN=MN/2=4(cm)

ΔOHM vuông tại H

=>\(OM^2=OH^2+HM^2=3^2+4^2=25=5^2\)

=>OM=5(cm)

=>Độ đài đường kính của (O) là 2*5=10(cm)

Xét ΔOAB có OA+OB>AB

=>AB<12+12=24

=>AB không bao giờ có khoảng cách là 25m

ĐKXĐ: x∉{0;2}

\(\frac{x+2}{x}=\frac{2x+3}{2\left(x-2\right)}\)

=>x(2x+3)=2(x-2)(x+2)

=>\(2x^2+3x=2\left(x^2-4\right)=2x^2-8\)

=>3x=-8

=>\(x=-\frac83\) (nhận)

ĐKXĐ: x∉{0;2} x + 2 x = 2 x + 3 2 ( x − 2 ) =>x(2x+3)=2(x-2)(x+2) => 2 x 2 + 3 x = 2 ( x 2 − 4 ) = 2 x 2 − 8 =>3x=-8 => x = − 8 3 (nhận)

Các bước giải chi tiết: 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): \(x\ne 0\) và \(x\ne 2\) 2. Quy đồng mẫu và khử mẫu: \(\frac{2(x-2)(x+2)}{2x(x-2)}=\frac{x(2x+3)}{2x(x-2)}\)Khử mẫu ta được: \(2(x-2)(x+2)=x(2x+3)\) 3. Khai triển và rút gọn phương trình: \(2(x^{2}-4)=2x^{2}+3x\) \(2x^{2}-8=2x^{2}+3x\) \(3x=-8\) \(x=-\frac{8}{3}\) 4. Kết luận: So sánh với điều kiện xác định (\(x\ne 0\) và \(x\ne 2\)), ta thấy \(x=-\frac{8}{3}\) thỏa mãn.Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ -\frac{8}{3} \right\}\)

1. Đối với tam giác đều ABC Khi đường thẳng d đi qua tâm O của tam giác đều, nó sẽ chia 3 đỉnh của tam giác thành 2 phía (một phía chứa 1 đỉnh và phía còn lại chứa 2 đỉnh, trừ trường hợp đường thẳng đi qua một đỉnh thì khoảng cách từ đỉnh đó bằng 0). Quan hệ giữa các độ dài: Độ dài lớn nhất trong 3 đoạn AM, BN, CP sẽ bằng tổng của 2 độ dài còn lại. Ví dụ: Nếu A nằm một phía, B và C nằm một phía đối với đường thẳng d, ta luôn có: AM = BN + CP

2. Đối với các đa giác đều khác (Hình vuông, Ngũ giác, Lục giác) Quy luật này được mở rộng dựa trên nguyên lý: Tổng các khoảng cách từ các đỉnh ở phía bên này của đường thẳng \(d\) luôn bằng tổng các khoảng cách từ các đỉnh ở phía bên kia. Hình vuông ABCD tâm O: Nếu d chia hình vuông thành 2 phía, mỗi phía 2 đỉnh (ví dụ A, B một phía; C, D một phía): AM + BN = CP + DQ Nếu d cắt hai cạnh đối (ví dụ A một phía, B, C, D phía còn lại): AM = BN + CP + DQ Hình ngũ giác đều ABCDE tâm O: Luôn chia thành một phía 2 đỉnh, một phía 3 đỉnh. Tổng khoảng cách 2 đỉnh phía này bằng tổng khoảng cách 3 đỉnh phía kia. Ví dụ: AM + BN = CP + DQ + EK Hình lục giác đều ABCDEF tâm O: Tương tự hình vuông, tổng khoảng cách các đỉnh phía bên này bằng tổng khoảng cách các đỉnh phía bên kia: AM + BN + CP = DQ + EK + FH (hoặc tùy theo số lượng đỉnh mỗi phía).

`S = sinx + sin(x+a) + sin(x+2a) + sin(x+3a) + sin(x+4a)`

`=> S= [sinx + sin(x+4a)] + [sin(x+a) + sin(x+3a)] + sin(x+2a)`

`=> S = 2*sin(x+2a)*cos2a + 2*sin(x+2a)*cosa + sin(x+2a)`

`=> S = sin(x+2a)*(2cos2a + 2cosa + 1)`

`=> S= sin(x+2a)*(4cos^2 a - 2 + 2cos a +1)

vì `sin(x+2a)` có tập giá trị là `[-1 ;1]` thay đổi theo `x` nên để `S` ko phu thuộc vào `x`<=> 4cos^2 a -+2cosa -1 = 0`

`<=>`\(\begin{cases}cosa=\frac{-1+\sqrt5}{4}\\ cosa=\frac{-1-\sqrt5}{4}\end{cases}\)

`<=>`\(\begin{cases}a=\frac{2\pi}{5}\\ a=\frac{4\pi}{5}\end{cases}\)

Mà cả `2` nghiệm đều thỏa mãn \(0

`=> a∈`\(\left\lbrace\frac{2\pi}{5};\frac{4\pi}{5}\right\rbrace\)

`=>` chọn `B`

Bước 1: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích Biểu thức ban đầu: \(S=\sin x+\sin (x+a)+\sin (x+2a)+\sin (x+3a)+\sin (x+4a)\) Nhóm các cặp số hạng đối xứng (số hạng đầu với cuối, số hạng thứ hai với thứ tư): \(S=[\sin x+\sin (x+4a)]+[\sin (x+a)+\sin (x+3a)]+\sin (x+2a)\) Áp dụng công thức \(\sin u + \sin v = 2 \sin\left(\frac{u+v}{2}\right) \cos\left(\frac{u-v}{2}\right)\): • \(\sin x + \sin(x + 4a) = 2 \sin(x + 2a) \cos(2a)\) • \(\sin(x + a) + \sin(x + 3a) = 2 \sin(x + 2a) \cos a\) Thay vào biểu thức \(S\): \(S=2\sin (x+2a)\cos (2a)+2\sin (x+2a)\cos a+\sin (x+2a)\) \(S=\sin (x+2a)\cdot [2\cos (2a)+2\cos a+1]\) Bước 2: Biện luận để biểu thức \(S\) không phụ thuộc vào \(x\) Để giá trị của \(S\) độc lập và không thay đổi theo biến \(x\), thừa số chứa \(x\) phải bị triệt tiêu. Điều này xảy ra khi và chỉ khi: \(2\cos (2a)+2\cos a+1=0\) Sử dụng công thức nhân đôi \(\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1\): \(2(2\cos ^{2}a-1)+2\cos a+1=0\) \(\Leftrightarrow 4\cos ^{2}a+2\cos a-1=0\) Giải phương trình bậc hai theo \(\cos a\): \(\cos a=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{4}\) Bước 3: Tìm giá trị của \(a\) trong khoảng \((0; \pi)\) Chúng ta biết các giá trị lượng giác đặc biệt của góc ngũ giác: • \(\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}\) • \(\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4}\) Cả hai giá trị \(a = \frac{2\pi}{5}\) và \(a = \frac{4\pi}{5}\) đều thỏa mãn điều kiện đề bài \(0 < a < \pi\). Khi đó, biểu thức \(S = 0\) với mọi \(x\) (hoàn toàn không phụ thuộc vào \(x\)).

Xét ΔABC có \(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^0\)

=>\(\hat{A}+\hat{B}=180^0-\hat{C};\hat{B}+\hat{C}=180^0-\hat{A};\hat{A}+\hat{C}=180^0-\hat{B}\)

=>cos(A+B)=-cosC

\(\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = \frac{1 - \cos 2A}{2} + \frac{1 - \cos 2B}{2} + \sin^2 C\)

\(= 1 - \frac{1}{2}(\cos 2A + \cos 2B) + (1 - \cos^2 C)\)

\(= 2 - \cos(A+B)\cos(A-B) - \cos^2 C\)

\(= 2 + \cos C \cos(A-B) - \cos^2 C = 2 + \cos C \left[ \cos(A-B) - \cos C \right]\)

\(= 2 + \cos C \left[ \cos(A-B) + \cos(A+B) \right] = 2 + \cos C \cdot (2 \cos A \cos B) = 2 + 2 \cos A \cos B \cos C\)

=>\(P = (\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C) - 2 \cos A \cos B \cos C = (2 + 2 \cos A \cos B \cos C) - 2 \cos A \cos B \cos C = 2\)

=>Chọn C

a: \(\left(2x-1\right)^2=49\)

=>\(\left[\begin{array}{l}2x-1=7\\ 2x-1=-7\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}2x=8\\ 2x=-6\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=4\\ x=-3\end{array}\right.\)

b: (x-2)(3x+5)=(2x-4)(x+1)

=>(x-2)(3x+5)=(x-2)(2x+2)

=>(x-2)(3x+5-2x-2)=0

=>(x-2)(x+3)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-2=0\\ x+3=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=2\\ x=-3\end{array}\right.\)

c: \(\left(2x+5\right)\left(x-4\right)=\left(x-5\right)\left(4-x\right)\)

=>\(\left(2x+5\right)\left(x-4\right)=\left(-x+5\right)\left(x-4\right)\)

=>\(\left(2x+5\right)\left(x-4\right)-\left(-x+5\right)\left(x-4\right)=0\)

=>(x-4)(2x+5+x-5)=0

=>3x(x-4)=0

=>x(x-4)=0

=>x=0 hoặc x=4

d: \(2\left(9x^2+6x+1\right)=\left(3x+1\right)\left(x-2\right)\)

=>\(2\left(3x+1\right)^2=\left(3x+1\right)\left(x-2\right)\)

=>\(\left(3x+1\right)\left(6x+2-x+2\right)=0\)

=>(3x+1)(5x+4)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}3x+1=0\\ 5x+4=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=-\frac13\\ x=-\frac45\end{array}\right.\)

e: \(\left(2x+7\right)^2=9\left(x+2\right)^2\)

=>\(\left(3x+6\right)^2=\left(2x+7\right)^2\)

=>\(\left(3x+6\right)^2-\left(2x+7\right)^2=0\)

=>(3x+6+2x+7)(3x+6-2x-7)=0

=>(x-1)(5x+13)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-1=0\\ 5x+13=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-\frac{13}{5}\end{array}\right.\)

f: \(27x^2\left(x+3\right)-12\left(x^2+3x\right)=0\)

=>\(27x^2\left(x+3\right)-12x\left(x+3\right)=0\)

=>x(x+3)(27x-12)=0

=>x(x+3)(9x-4)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x=0\\ x+3=0\\ 9x-4=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-3\\ x=\frac49\end{array}\right.\)

g: \(16x^2-8x+1=4\left(x+3\right)\left(4x-1\right)\)

=>\(\left(4x-1\right)^2-\left(4x-1\right)\left(4x+12\right)=0\)

=>(4x-1)(4x-1-4x-12)=0

=>-13(4x-1)=0

=>4x-1=0

=>4x=1

=>x=1/4

h: \(\left(5x^2-2x+10\right)^2=\left(3x^2+10x-8\right)^2\)

=>\(\left(5x^2-2x+10-3x^2-10x+8\right)\left(5x^2-2x+10+3x^2+10x-8\right)=0\)

=>\(\left(2x^2-12x+18\right)\left(8x^2+8x+2\right)=0\)

=>\(2\left(x^2-6x+9\right)\cdot2\cdot\left(4x^2+4x+1\right)=0\)

=>\(\left(x-3\right)^2\cdot\left(2x+1\right)^2=0\)

=>\(\left[\begin{array}{l}x-3=0\\ 2x+1=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=3\\ x=-\frac12\end{array}\right.\)