Do ∆ABC cân tại A (gt)

⇒ AB = AC và ∠ABC = ∠ACB = (180⁰ - ∠BAC) : 2

Do BD là phân giác của ∠ABC (gt)

⇒ ∠ABD = ∠CBD = ∠ABC : 2

Do CE là phân giác của ∠ACB (gt)

⇒ ∠ACE = ∠BCE = ∠ACB : 2

Mà ∠ABC = ∠ACB (cmt)

⇒ ∠ABD = ∠ACE

Xét ∆ABD và ∆ACE có:

∠A chung

AB = AC (cmt)

∠ABD = ∠ACE (cmt)

⇒ ∆ABD = ∆ACE (g-c-g)

⇒ AD = AE (hai cạnh tương ứng)

⇒ ∆ADE cân tại A

⇒ ∠AED = ∠ADE = (180⁰ - ∠EAD) : 2 = (180⁰ - ∠BAC) : 2

Mà ∠ABC = (180⁰ - ∠BAC) : 2 (cmt)

⇒ ∠AED = ∠ABC

Mà ∠AED và ∠ABC là hai góc đồng vị

⇒ ED // BC

⇒ BEDC là hình thang (1)

Do ∠ABC = ∠ACB (cmt)

⇒ ∠EBC = ∠DCB (2)

Từ (1) và (2) suy ra BEDC là hình thang cân (3)

Do DE // BC (cmt)

⇒ ∠EDB = ∠CBD (so le trong)

Do ∠ABD = ∠CBD (cmt)

⇒ ∠EBD = ∠CBD

Mà ∠CBD = ∠EDB (cmt)

⇒ ∠EDB = ∠EBD

⇒ ∆EBD cân tại E

⇒ ED = EB (4)

Từ (3) và (4) suy ra BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên

a: Xét ΔEAB và ΔECM có

\(\hat{EAB}=\hat{ECM}\) (hai góc so le trong, AB//CM)

\(\hat{AEB}=\hat{CEM}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔEAB~ΔECM

=>\(\frac{EA}{EC}=\frac{AB}{CM}=\frac{AB}{0,5CD}=\frac{2AB}{CD}\)

b: Xét ΔFBA và ΔFDM có

\(\hat{FBA}=\hat{FDM}\) (hai góc so le trong, BA//DM)

\(\hat{BFA}=\hat{DFM}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔFBA~ΔFDM

=>\(\frac{FB}{FD}=\frac{FA}{FM}=\frac{AB}{DM}=\frac{2AB}{DC}\)

=>\(\frac{FB}{FD}=\frac{FA}{FM}=\frac{EA}{EC}\)

Xét ΔAMC có \(\frac{AF}{FM}=\frac{AE}{EC}\)

nên EF//MC

=>EF//CD
c: Xét ΔBMC có EG//MC

nên \(\frac{EG}{MC}=\frac{BE}{BM}\) (1)

Xét ΔBDM có FE//DM

nên \(\frac{FE}{DM}=\frac{BE}{BM}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(\frac{EG}{MC}=\frac{FE}{DM}\)

mà MC=DM

nên EG=FE(3)

Xét ΔAMC có FE//MC

nên \(\frac{FE}{MC}=\frac{AF}{AM}\) (4)

Xét ΔADM có FH//DM

nên \(\frac{FH}{DM}=\frac{AF}{AM}\) (5)

Từ (4),(5) suy ra \(\frac{FE}{MC}=\frac{FH}{DM}\)

mà MC=DM

nên FE=FH(6)

Từ (3),(6) suy ra FE=FH=EG

Không dùng Thales thì chịu chết bạn ơi :))

a: Xét tứ giác ADME có \(\hat{ADM}=\hat{AEM}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADME là hình chữ nhật

b: Ta có: MD⊥AB

AC⊥BA

Do đó: MD//AC

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MD//AC

Do đó:D là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M,D lần lượt là trung điểm của BC,BA

=>MD là đường trung bình của ΔABC

=>\(MD=\frac{AC}{2}\)

=>\(AC=2\cdot MD=2\cdot9,5=19\left(\operatorname{cm}\right)\)

c: Xét ΔEAB có EH là phân giác

nên \(\frac{AH}{HB}=\frac{EA}{EB}\) (1)

Xét ΔEBC có EK là phân giác

nên \(\frac{CK}{KB}=\frac{CE}{EB}\) (2)

Xét ΔABC có

M la trung điểm của BC

ME//AB

Do đó: E là trung điểm của AC

=>EA=EC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\frac{CK}{KB}=\frac{AH}{HB}\)

=>\(\frac{BK}{BC}=\frac{BH}{BA}\)

Xét ΔBKH và ΔBCA có

\(\frac{BK}{BC}=\frac{BH}{BA}\)

góc KBH chung

Do đó: ΔBKH~ΔBCA

=>\(\hat{BKH}=\hat{BCA}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đông vị

nên KH//AC

mình cũng chịu vì chx học đến =))

a: Xét ΔABC có

M,D lần lượt là trung điểm của BC,BA

=>MD là đường trung bình của ΔABC

=>MD//AC

=>MD⊥AB tại D
Ta có: AB⊥ME tại D

D là trung điểm của ME

Do đó: AB là đường trung trực của ME

=>E đối xứng M qua BA

b: Xét tứ giác AMBE có

D là trung điểm chung của AB và ME

=>AMBE là hình bình hành

Hình bình hành AMBE có AB⊥ME

nên AMBE là hình thoi

=>AE//MB và AE=MB

AE//MB

=>AE//MC

AE=MB

MB=MC

Do đó: AE=MC

Xét tứ giác AEMC có

AE//MC

AE=MC

Do đó: AEMC là hình bình hành

c: M là trung điểm của BC

=>\(BM=\frac{BC}{2}=\frac42=2\left(\operatorname{cm}\right)\)

Chu vi hình thoi AMBE là:

\(C_{AMBE}=4\cdot BM=4\cdot2=8\left(\operatorname{cm}\right)\)

a: Gọi O là trung điểm của AB

=>O là tâm đường tròn đường kính AB

Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

=>BE⊥AC tại E

Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

=>AD⊥BC tại D

ΔABC cân tại A

mà AD là đường cao

nên D là trung điểm của BC và AD là phân giác của góc BAC
ΔBEC vuông tại E

mà ED là đường trung tuyến

nên DE=DB

=>ΔDEB cân tại D

b: Xét tứ giác AEDB có \(\hat{AEB}=\hat{ADB}=90^0\)

nên AEDB là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{DBE}=\hat{DAE}\)

=>\(\hat{CBE}=\hat{CAD}=\frac12\cdot\hat{CAB}\)

a: Xét tứ giác MAOC có \(\hat{MAO}+\hat{MCO}=90^0+90^0=180^0\)

nên MAOC là tứ giác nội tiếp

=>M,A,O,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

MA,MC là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MC

=>M nằm trên đường trung trực của AC(1)

TA có: OA=OC

=>O nằm trên đường trung trực của AC(2)

Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AC

=>MO⊥AC tại I và I là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

I,O lần lượt là trung điểm của AC,AB

=>IO là đường trung bình của ΔABC

=>IO//BC và \(IO=\frac{BC}{2}\)

=>BC=2IO

ΔOCD cân tại O

mà OB là đường cao

nên OB là phân giác của góc COD

Xét ΔOCF và ΔODF có

OC=OD

\(\hat{COF}=\hat{DOF}\)

OF chung

Do đó: ΔOCF=ΔODF

=>\(\hat{OCF}=\hat{ODF}\)

=>\(\hat{ODF}=90^0\)

=>DF là tiếp tuyến tại D của (O)

c: Ta có: \(\hat{HCB}+\hat{OBC}=90^0\) (ΔHBC vuông tại H)

\(\hat{FCB}+\hat{OCB}=\hat{OCF}=90^0\)

mà \(\hat{OBC}=\hat{OCB}\) (ΔOBC cân tại O)

nên \(\hat{HCB}=\hat{FCB}\)

=>CB là phân giác của góc HCF

Xét ΔHCF có CB là phân giác

nên \(\frac{BH}{HC}=\frac{BF}{CF}\)

=>\(BH\cdot CF=HC\cdot BF\)

a: Xét tứ giác ABDC có \(\hat{BAC}+\hat{BDC}=90^0+90^0=180^0\)

nên ABDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{ACD}+\hat{ABD}=180^0\)

b:

ΔBDC vuông cân tại D

=>DB=DC và \(\hat{DBC}=\hat{DCB}=45^0\)

ABDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{CAD}=\hat{CBD}\)

=>\(\hat{CAD}=45^0\)

Xét ΔDIA vuông tại D có \(\hat{DAI}=45^0\)

nên ΔDAI vuông cân tại D

=>DA=DI

c: Ta có: ABDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{BAD}=\hat{BCD}\)

=>\(\hat{BAD}=45^0\)

TA có: \(\hat{BAD}=\hat{CAD}\left(=45^0\right)\)

=>AD là phân giác của góc BAC

khó nhìn quá thầy ơi