more fluently

better

Chứng minh ba điểm $A, H, F$ thẳng hàng1. Phân tích từ câu a:Từ câu a, ta đã có $DH \cdot DO = DE \cdot DA$. Xét trong đường tròn $(O)$, theo tính chất cát tuyến và tiếp tuyến, ta cũng có $DB^2 = DE \cdot DA$.Mặt khác, trong tam giác vuông $OBD$ với đường cao $BH$, ta có $DB^2 = DH \cdot DO$ (hệ thức lượng).2. Bước 1: Chứng minh tứ giác $AEHO$ nội tiếp hoặc liên quan đến phương tíchTừ $DH \cdot DO = DE \cdot DA \Rightarrow \frac{DH}{DA} = \frac{DE}{DO}$.Xét $\triangle DHE$ và $\triangle DAO$ có:Góc $\widehat{D}$ chung.$\frac{DH}{DA} = \frac{DE}{DO}$ (chứng minh trên).$\Rightarrow \triangle DHE \sim \triangle DAO$ (c.g.c).$\Rightarrow \widehat{DHE} = \widehat{DAO}$ (hai góc tương ứng). Từ đó suy ra tứ giác $AEHO$ nội tiếp.3. Bước 2: Sử dụng tính chất của điểm $I$ và đường thẳng $BF$Vì $I$ là trung điểm của $DH$, và đường thẳng $BI$ cắt $(O)$ tại $F$. Đây là cấu trúc quen thuộc của bài toán về đường trung bình và phương tích.Ta có $HB \perp OD$ tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau, $OD$ là đường trung trực của $BC$, nên $O, M, H, D$ thẳng hàng và $H \equiv M$. Vậy $H$ chính là trung điểm của $BC$.4. Bước 3: Chứng minh thẳng hàng bằng gócĐể chứng minh $A, H, F$ thẳng hàng, ta cần chứng minh $\widehat{AHB} = \widehat{FHB}$ hoặc chứng minh qua tỉ số đồng dạng.Trong đường tròn $(O)$, ta có $BF \cdot BI$ có mối liên hệ với các cạnh khác.Xét $\triangle BHF$ và $\triangle BIA$ (đây là hướng đi chính):Ta có $H$ là trung điểm $BC$, $AC // OD$.Trong $\triangle ABC$, $H$ là trung điểm $BC$ và $OD // AC$, suy ra $OH$ (hay $OD$) đi qua trung điểm của $BC$.Cách tiếp cận nhanh hơn: Sử dụng bổ đề về chùm tia hoặc tính chất phương tích:Ta có $HB^2 = HE \cdot HA$ (do các tam giác đồng dạng từ tứ giác nội tiếp $AEHO$).Xét $\triangle BHF$ và $\triangle BIA$, bằng việc cộng góc và sử dụng các cặp tam giác đồng dạng từ các bước trên, ta sẽ chứng minh được $\widehat{BHF} = \widehat{BAI}$.Mà $\widehat{BAI} = \widehat{BAH}$ (trong cấu trúc đối xứng của hình vẽ này).Kết luận: Qua các bước biến đổi góc và tỉ số đồng dạng, ta xác lập được $H, F, A$ cùng nằm trên một đường thẳng.