Toán

4 tuổi

thanks you Nguyên nhé

4 tuổi

\(\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=a\)     (1)

Điều kiện :

\(\begin{cases}1+x\ge0\\8-x\ge0\\\left(1+x\right)\left(8-x\right)\ge0\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)    \(\begin{cases}x\ge-1\\x\le8\\-1\le x\le8\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)  \(x\in\left[-1;8\right]\)  : = (*)

Đặt \(t=\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}\)  với điều kiện \(x\in\) (*) ta có

\(\begin{cases}t\ge0\\t^2=1+x+8-x+2\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}\end{cases}\)

\(\Rightarrow\) \(\begin{cases}t\ge0\\9\le t^2\le9+\left(1+x+8-x\right)=18\end{cases}\)

\(\Rightarrow\) \(t\in\left[3;3\sqrt{2}\right]\) : = (*1)

Ngoài ra, từ đó còn có \(\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=\frac{t^2-9}{2}\)

Phương trình (1) trở thành 

\(f\left(t\right)=\frac{1}{2}\left(t^2+2t-9\right)=a\)  (2)

1) Với a=3 ta có : 

(2) \(\Leftrightarrow\) \(t^2+2t-15=0\)  \(\Leftrightarrow\)   \(\begin{cases}t=3\\t=-5\end{cases}\)

Trong 2 nghiệm trên, chỉ có t =3 thuộc (*1) nên với a=3 ta có

(1) \(\Leftrightarrow\)  \(\sqrt{\left(1+x\right)\left(8-x\right)}=\frac{3^2-9}{2}=0\)   \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x=-1\\x=8\end{cases}\)

Hai nghiệm này cùng thuộc (*) như vậy khi a=3, phương trình đã cho có 2 nghiệm x=-1 và x=8

2)Nhận thấy phương trình (1) có nghiệm  \(x\in\) (*)  khi và chỉ khi phương trình (2)

có nghiệm t\(\in\) (*1) hay là khi và chỉ khi đường thẳng y=a (vuông góc với y'Oy) có điểm ching với phần đồ thị hàm số y=f(t) vẽ trên ( *1).

Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(t) trên (*1) với nhận xét rằng f'(t) = t+1>0, mọi t  \(x\in\) (*) 

 Từ nhận xét trên và từ bảng biến thiên, ta được \(3\le a\le\frac{9+6\sqrt{2}}{2}\)  là giá trị cần tìm

chị giải rõ ra được k em mới học lớp 5

\(x^2-\left|3x+2\right|+x-1>0\) (1)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\begin{cases}3x+2\ge0\\x^2-\left(3x+2\right)+x-1=x^2-2x-3>0\end{cases}\\\begin{cases}3x+2<0\\x^2+\left(3x+2\right)+x-1=x^2+4x+1>0\end{cases}\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}-\frac{2}{3}\le x\\x\in\left(-\infty,-1\right)\cup\left(3;+\infty\right)\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}x<-\frac{2}{3}\\x\in\left(-\infty;-2-\sqrt{3}\right)\cup\left(-2+\sqrt{3};+\infty\right)\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow x<-2-\sqrt{3}\) hoặc \(x>3\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm T(1) = \(\left(-\infty;-2-\sqrt{3}\right)\cup\left(3;+\infty\right)\)

rắc rúi quá bạn ơi

\(x^2-\left(3m-2\right)x+2m\left(m-2\right)<0\) (1)

Tam thức bậc hai ở (1) luôn có hai nghiệm \(x_1=2m\)

và \(x_2=m-2\) với mọi \(m\in R\) Từ đó ta có 

- Khi 2m<m-2 hay m<-2 thì (1) có nghiệm 2m<x<m-2

- Khi 2m=m-2 hay m=-2 thì (1) vô nghiệm 

- Khi 2m>m-2 hay m>-2 thì (1) có nghiệm m-2<x<2m

\(mx^2+\left(m+1\right)x-2m\le0\) (1)

Nếu \(m=0\) thì dễ thấy (1) có nghiệm \(x\le0\)

Xét \(m\ne0\) Khi đó (1) là bất phương trình bậc hai với a=m. 

Ngoài ra, biệt thức

\(\Delta=9m^2+2m+1=\left(3m+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{8}{9}>0\)  \(\curlyvee m\in R\). Từ đó ta có ngay kết luận :

- Khi m < 0, bất phương trình (1) có tập nghiệm

T(1) = \(\left(x;\frac{-m-1+\sqrt{9m^2+2m+1}}{2m}\right)\)\(\cup\)\(\left(\frac{-m-1-\sqrt{9m^2+2m+1}}{2m};+\infty\right)\)

- Khi m = 0, bất phương trình (1) có tập nghiệm T(1) =R+

- Khi m>0, bất phương trình (1) có tập nghiệm

T(1)=\(\left(\frac{-m-1-\sqrt{9m^2+2m+1}}{2m};\frac{-m-1+\sqrt{9m^2+2m+1}}{2m}\right)\)

minh chịu thôi

\(\left(m-1\right)x^2-2mx+3m-2>0\) (1)

- Nếu \(m=1\)   thì (1) có dạng \(-2x+1>0\)    nên có nghiệm \(x<\frac{1}{2}\)

- Nếu \(m\ne1\)   thì (1) là bất phương trình bậc 2 với \(a=m-1\)  và biệt thức \(\Delta'=-2m+5m-2\) 

Trong trường hợp \(\Delta'\ge0\)

ta kí hiệu 

\(x_1:=\frac{m-\sqrt{\Delta'}}{m-1}\)    ; \(x_2:=\frac{m+\sqrt{\Delta'}}{m-1}\)     \(d:=x_2-x_1=\frac{2\sqrt{\Delta'}}{m-1}\)

Lập bảng xét dấu ta được

+ Nếu \(m\le\frac{1}{2}\)   thì \(a<0\)    ; \(\Delta'\le0\)

nên (1) vô nghiệm

+ Nếu \(\frac{1}{2}\) <m< 1 thi a<0; \(\Delta'>0\)

\(d\ge0\) nên (1) \(\Leftrightarrow\) x<\(x_1\)  hoặc \(x_2\)<x

+ Nếu m>2 thì a>0; \(\Delta'<0\)

nên (1) có tập nghiệm T(1)=R.

Ta có kết luận :

* Khi \(m\le\frac{1}{2}\) thì (1) vô nghiệm

* Khi \(\frac{1}{2}\) <m<1 thì (1) có nghiệm

\(\frac{m+\sqrt{-2m^2+5m-2}}{m-1}\) <x<\(\frac{m-\sqrt{-2m^2+5m-2}}{m-1}\)

* Khi m=1 thì (1) có nghiệm \(x<\frac{1}{2}\)

* Khi 1<m\(\le\) 2 thì (1) có tập nghiệm

T(1) = \(\left(-\infty;\frac{m-\sqrt{-2m^2+5m-2}}{m-1}\right)\cup\left(\frac{m+\sqrt{-2m^2+5m-2}}{m-1}\right);+\infty\)

* Khi m>2 thì (1) có nghiệm là mọi x\(\in R\)

\(\frac{x}{2x-1}>\frac{x-1}{x+2}\Rightarrow\frac{x}{2x-1}-\frac{x-1}{x+2}>0\Rightarrow\frac{-x^2+5x-1}{\left(2x-1\right)\left(x+2\right)}>0\)

=> VT :                -        //      +         0           -          //        +            0              -

Vậy \(S=\left(-2;\frac{5-\sqrt{21}}{2}\right)\cup\left(\frac{1}{2};\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)\)

\(\frac{x}{2x-1}>\frac{x-1}{x+2}\)   (1)

\(\Leftrightarrow\)  \(\frac{\left(2x-1\right)\left(x-1\right)-x\left(x+2\right)}{\left(2x-1\right)\left(x+2\right)}<0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\frac{x^2-5x+1}{2x^2+3x-2}<0\)  (a)

Xét các trường hợp

- Nếu \(2x^2+3x-2<0\)  hay là \(x\in\left(-2;\frac{1}{2}\right)\)  := (*) thì (a) \(\Leftrightarrow\) \(x^2-5x+1>0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x<\frac{5-\sqrt{21}}{2}\)  hoặc \(\frac{5-\sqrt{21}}{2}\)< x

Kết hợp với điều kiện \(x\in\) (*) ta được -2<x<\(\frac{5-\sqrt{21}}{2}\)

- Nếu \(2x^2+3x-2>0\) hay \(x\in\left(-\infty;-2\right)\cup\left(\frac{1}{2};+\infty\right)\) : = (* *) 

thì (1) \(\Leftrightarrow\) \(x^2-5x+1<0\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{5-\sqrt{21}}{2}\)<x<\(\frac{5+\sqrt{21}}{2}\)

Kết hợp với điều kiện x\(\in\)(* * ) ta được \(\frac{1}{2}\)<x<\(\frac{5+\sqrt{21}}{2}\)

Tóm lại : 

(1) có nghiệm -2<x<\(\frac{5-\sqrt{21}}{2}\) hoặc  \(\frac{1}{2}\)<x<\(\frac{5+\sqrt{21}}{2}\)

Nguyễn Trọng Nghĩa mấy câu này bạn nên dùng kiểu xét dấu cho nhanh

Ta có : góc xOz= góc xOy+ góc yOz=70^o+110^o=180^o

Mà góc xOy và góc yOz là 2 góc kề nhau nên: góc xOz là góc bẹt 

=>Ox và Oz là 2 tia đối