Gọi số cần lập dạng \(\overline{abcd}\) \(\Rightarrow a\ge3\)

TH1: \(a=3\) \(\Rightarrow b\ge2\)

- Với \(b=2\Rightarrow c\ge4\)

+ Với \(c=4\Rightarrow d\) có 3 cách chọn (5,6,7)

+ Với \(c>4\Rightarrow c\) có 3 cách chọn (5,6,7), d có 5 cách chọn (khác a;b;c)

- Với \(b>2\Rightarrow b\) có 4 cách chọn

\(\Rightarrow\) bộ cd có \(A_6^2\) cách chọn

TH2: \(a>3\Rightarrow a\) có 4 cách chọn

Chọn bcd tùy ý có \(A_7^3\) cách

\(\Rightarrow A=3+3.5+4.A_6^2+4.A_7^3\) số lớn hơn 3242

Loại trừ số có toàn chữ số lẻ:  có 4 chữ số lẻ là 1,3,5,7

- Với \(a=3\) \(\Rightarrow b\) có 2 cách chọn (5, 7), cd có \(2!=2\) cách

- Với \(a=\left\{5;7\right\}\) có 2 cách \(\Rightarrow\) bộ bcd có \(3!\) cách

\(\Rightarrow B=2.2+2.3!\) số lớn hơn 3242 toàn chứa số lẻ

Lấy A-B sẽ ra kết quả

\(\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{x+1}{4}\)

\(4\left(x-2\right)=3\left(x+1\right)\)

\(4x-8=3x+3\)

\(4x-3x=3+8\)

\(x=11\)

A) Ta có thể chứng minh đồng dạng giữa tam giác \(BMI\) và \(ADI\) bằng cách so sánh các góc tương ứng:
   - Góc \(BMI\) và góc \(ADI\) là góc \(BAC\) và góc \(BAD\), vì chúng là góc ở đỉnh đồng dạng.
   - Góc \(BIM\) và góc \(ADI\) là góc vuông vì \(IM\) và \(ID\) là đường cao trong tam giác \(BMI\) và \(ADI\) tương ứng.

Vậy, ta có thể kết luận \(BMI\) đồng dạng \(ADI\).

B) Để chứng minh \(BI \cdot BD = BM \cdot BC\), ta sử dụng định lý Phân đôi đường cao trong tam giác vuông và tính chất của đường cao trong tam giác:

Trong tam giác \(ABD\) vuông tại \(D\):
   - Định lý Phân đôi đường cao: \(BD^2 = BM \cdot BC\)

Vậy, \(BI \cdot BD = BI \cdot \sqrt{BM \cdot BC} = \sqrt{BM \cdot BC} \cdot BD = BM \cdot BC\).

Vậy, ta chứng minh được \(BI \cdot BD = BM \cdot BC\).

C) Để chứng minh \( \angle BIC = \angle BMD \), ta sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ở tâm:

   - Góc \(BIC\) là góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp \(ABC\), nên \( \angle BIC = \frac{1}{2} \angle BAC\).
   - Góc \(BMD\) là góc ở tâm của đường tròn ngoại tiếp \(ABCD\), nên \( \angle BMD = \frac{1}{2} \angle BAD\).

Vì \( \angle BAC = \angle BAD\), nên \( \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BAD\), và do đó \( \angle BIC = \angle BMD\).

Vậy, ta chứng minh được \( \angle BIC = \angle BMD\).

a) Ta có: ∠ADB = ∠EAC (vì BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC, nên ∠ADB và ∠EAC là góc đối của cùng một cạnh AB).
Và ∠ABD = ∠AEC (vì BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC, nên ∠ABD và ∠AEC là góc đối của cùng một cạnh AC).
Do đó, tam giác △ABD đồng dạng tam giác △ACE theo góc đồng dạng (AA).

Ta biết: BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC, nên BD ⊥ AC và CE ⊥ AB.
Vì BD ⊥ AC, nên BD là đoạn vuông góc từ B đến AC.
Vì CE ⊥ AB, nên CE là đoạn vuông góc từ C đến AB.
Do đó, BD và CE là hai đoạn vuông góc từ hai đỉnh B và C đến cạnh AB và AC.
Vậy tỷ lệ đồng dạng của các cạnh là: \((\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{AC}}).\)

Như vậy, tam giác △ABD đồng dạng tam giác △ACE theo góc đồng dạng (AA) và tỷ lệ đồng dạng của các cạnh.

b) Ta biết: AB = 4cm, AC = 5cm, AD = 2cm.

Vì tam giác △ABD đồng dạng tam giác △ACE, nên tỷ lệ đồng dạng của các cạnh là:

\((\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{AC}}) (BD = \frac{{AB \cdot CE}}{{AC}}) (BD = \frac{{4 \cdot CE}}{{5}}) (BD = \frac{{4CE}}{{5}})\)

Vì BD là đoạn thẳng vuông góc từ B đến AC, nên BD + ED = AB.

(BD + CE = 4)

\((\frac{{4CE}}{{5}} + DE = 4) (DE = 4 - \frac{{4CE}}{{5}}) (DE = \frac{{20 - 4CE}}{{5}})\)

c) Vì tam giác △ABD đồng dạng tam giác △ACE, nên góc EAC = góc ABD.

Nhưng góc EAC = góc ECH (vì CE là đường cao từ C đến AB).

Vậy góc EDH = góc ECH.

A) Để chứng minh \( \triangle ABD \sim \triangle ACE \), chúng ta cần chỉ ra rằng tỉ lệ các độ dài các cạnh trong hai tam giác là như nhau.

Xét \( \triangle ABD \) và \( \triangle ACE \):
   - \( \angle ABD \) và \( \angle ACE \) là góc vuông, vì \( BD \) và \( CE \) là đường cao của \( \triangle ABC \).
   - \( \angle ADB \) và \( \angle AEC \) là góc có chung với \( \angle A \).

Vì vậy, theo góc - góc - góc, ta có \( \triangle ABD \sim \triangle ACE \).

B) Ta sử dụng tỉ lệ đồng dạng để tính \( DE \):
\[
\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{EC}
\]
Thay vào đó giá trị đã biết:
\[
\frac{2}{4} = \frac{DE}{5}
\]
\[
DE = \frac{2}{4} \times 5 = 2.5 \text{ cm}
\]

C) Để chứng minh \( \angle EDH = \angle ECH \), chúng ta có thể sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ngoại tiếp:
- Vì \( AC \) là đường chéo của hình chữ nhật \( ABCD \), nên \( \angle BAC = \angle EDC \) (góc ngoại tiếp).
- Từ đó, ta có \( \angle ECH = \angle EDC \).
- Do \( DH \) là đường cao của tam giác \( ABD \), nên \( \angle EDH = 90^\circ - \angle BDA \).
- Nhưng \( \angle BDA = \angle EDC \) (vì \( AB \) song song \( DC \)), nên \( \angle EDH = 90^\circ - \angle EDC \).

Vậy, \( \angle EDH = \angle ECH \).