Ta có: \(n_{Al\left(OH\right)_3}=\dfrac{1,56}{78}=0,02\left(mol\right)\)

PT: \(NaOH+HCl\rightarrow NaCl+H_2O\)

______0,2______0,2 (mol)

\(NaAlO_2+HCl+H_2O\rightarrow Al\left(OH\right)_3+NaCl\)

0,05________0,05___________0,05 (mol)

\(Al\left(OH\right)_3+3HCl\rightarrow AlCl_3+3H_2O\)

0,05-0,02______0,09 (mol)

⇒ n_HCl = 0,2 + 0,05 + 0,09 = 0,34 (mol)

Đặt \(z=x+yi\Rightarrow\left|x-3+\left(y-1\right)i\right|=\left|x+\left(y+1\right)i\right|\)

\(\Rightarrow\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2=x^2+\left(y+1\right)^2\)

\(\Rightarrow6x+4y-9=0\Rightarrow y=\dfrac{9-6x}{4}\)

\(P=\left|\left(x-1\right)+\left(y+3\right)i\right|=\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(\dfrac{9-6x}{4}+3\right)^2}=\sqrt{\dfrac{13}{4}\left(x-\dfrac{71}{26}\right)^2+\dfrac{225}{52}}\ge\sqrt{\dfrac{225}{52}}\)

Những bài thế này em chỉ cần quan tâm hệ số tự do là đủ:

\(f\left(x\right)-g\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm -1;2 nên có dạng:

\(f\left(x\right)-g\left(x\right)=k\left(x+1\right)\left(x-2\right)\)

Khai triển biểu thức trên, hệ số tự do ta nhận được là \(-2k\)

Mà \(f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(a-m\right)x^2+\left(b-n\right)x-2\) có hệ số tự do -2

Đồng nhất 2 hệ số tự do \(\Rightarrow-2k=-2\Rightarrow k=1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x-2\right)\)

\(\Rightarrow S=\int\limits^2_{-1}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx=\int\limits^2_{-1}\left|\left(x+1\right)\left(x-2\right)\right|dx\) bấm máy

Mặt cầu (S) tâm \(I\left(1;2;3\right)\) bán kính \(R=3\)

\(\overrightarrow{IM}=\left(3;2;-6\right)\Rightarrow IM=7\)

Áp dụng công thức phương tích:

\(MA.MB=IA^2-R^2=40\)

Ko mất tính tổng quát, giả sử A nằm giữa M và B 

\(\Rightarrow IA-R\le MA< \sqrt{MA.MB}\Rightarrow4\le MA< \sqrt{40}\) (dấu = xảy ra khi A là giao của IM và mặt cầu)

\(\Rightarrow P=MA+\dfrac{10.40}{MA}=MA+\dfrac{400}{MA}\)

Đặt \(MA=x\) với \(4\le x< 2\sqrt{10}\), xét hàm \(f\left(x\right)=x+\dfrac{400}{x}\) trên \([4;2\sqrt{10})\Rightarrow\) cực trị

\(f'\left(x\right)=1-\dfrac{400}{x^2}=\dfrac{x^2-400}{x^2}< 0;\forall x\in[4;2\sqrt{10})\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) nghịch biến trên miền đã cho

Ủa đến đây mới thấy vấn đề, vậy hàm này chỉ có max, ko có min

Nó có min khi B nằm giữa M và A chứ ko phải A nằm giữa M và B như mình giả thiết.

Cho nên đề bài thiếu, phải có dữ kiện 2 điểm A và B điểm nào nằm giữa so với M nữa (nếu ko giá trị P sẽ rất khác nhau)

Gọi d là đường thẳng qua \(\left(3;-1;2\right)\) và vuông góc (P)

\(\Rightarrow\) d nhận \(\left(2,-1,2\right)\) là 1 vtcp

Phương trình d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=3+2t\\y=-1-t\\z=2+2t\end{matrix}\right.\)

Giao của d và (P) thỏa mãn: 

\(2\left(3+2t\right)-\left(-1-t\right)+2\left(2+2t\right)-2=0\)

\(\Rightarrow t=-1\Rightarrow M\left(1;0;0\right)\Rightarrow OM=1\)

Mặt cầu (S) tâm \(I\left(3;-1;2\right)\) bán kính \(R=2\)

\(IM=\sqrt{MN^2+R^2}=3\)

\(d\left(I;\left(P\right)\right)=\dfrac{\left|2.3+1+2.2-2\right|}{\sqrt{9}}=3=IM\)

\(\Rightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của I lên (P)

Đến đoạn tìm tọa độ M này chắc em tự giải được dễ dàng

Câu này em kiểm tra đề, có vẻ đề bài sai

Do \(z_1+z_2=2\) là số thực nên chúng có phần ảo đối nhau \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z_1=x_1+yi\\z_2=x_2-yi\end{matrix}\right.\) với \(y\ne0\)

Từ \(\left|z_1-2\right|=\left|z_2-2\right|\Rightarrow\left|x_1-2+yi\right|=\left|x_2-2-yi\right|\)

\(\Rightarrow\left(x_1-2\right)^2+y^2=\left(x_2-2\right)^2+y^2\)

\(\Rightarrow x_1^2-x_2^2-4x_1+4x_2=0\)

\(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2-4\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=x_2\\x_1+x_2=4\end{matrix}\right.\)

TH1: \(x_1+x_2=4\Rightarrow z_1+z_2=x_1+x_2=4\ne2\) trái giả thiết

TH2: \(x_1=x_2\) kết hợp \(x_1+x_2=2\Rightarrow x_1=x_2=1\)

\(\Rightarrow\left|z_1-2\right|=1\Leftrightarrow\left(1-2\right)^2+y^2=1\Rightarrow y=0\)

\(\Rightarrow z_1\) là số thực vẫn trái giả thiết

Ko tồn tại các số phức thỏa mãn

Xét \(\int\limits^1_0x.f'\left(x\right)dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=f'\left(x\right)dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=f\left(x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=x.f\left(x\right)|^1_0-\int\limits^1_0f\left(x\right)dx\)

\(=1.f\left(1\right)-0.f\left(0\right)-7=-5\)

Do \(z_1;z_2\) là nghiệm của \(az^2+bz+c=0\) nên \(z_1;z_2\) là hai số phức liên hợp

Đặt \(w=x+yi\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}z_1=x+1+\left(y+1\right)i\\z_2=2x-1+\left(2y-4\right)i\end{matrix}\right.\)

Do \(z_1;z_2\) liên hợp:

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=2x-1\\y+1=-\left(2y-4\right)\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left|w\right|=\sqrt{5}\)