Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây

Bài 4: 

a: Xét (O) cso

ΔABI nội tiếp

AI là đường kính

Do đo: ΔABI vuông tại B

Xét (O) có

ΔACI nội tiếp

AI là đường kính

Do đó: ΔACI vuông tại C

Xét tứ giác BHCI có

BH//CI

BI//CH

Do đó: BHCI là hình bình hành

b: Ta có: BHCI là hình bình hành

nên BC cắt HI tại trung điểm của mỗi đường

=>M là trung điểm chung của HI và BC

=>OM vuông góc với BC

c: Xét (O) có

ΔAKI nội tiếp

AI là đường kính

Do đó: ΔAKI vuông tại K

=>BC//KI

Xét ΔCHK có

CB vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

nên ΔCHK cân tại C

=>CH=CK=BI

=>BKIC là hình thang cân

a) Ta có: đường kính AB vuông góc với dây CD tại M (gt) (1)

\(\Rightarrow MC=MD\left(2\right)\)

Mà MA = ME (E đối xứng với A qua M) (3)

Từ (2), (3) \(\Rightarrow\) Tứ giác ACED là hình bình hành (4)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow AB\) là đường trung trực của CD

\(\Rightarrow\) Điểm E nằm trên đường trung trực AB cách đều 2 đầu mút C và D \(\Rightarrow EC=ED\) (5)

Từ (4), (5) \(\Rightarrow\) Tứ giác ACED là hình thoi

b) Ta có: AB = 2R = 2 . 6,5 = 13 (cm)

\(\Rightarrow MB=AB-MA=13-4=9\left(cm\right)\)

Theo hệ thức lượng ta có:

MC² = MA . MB = 4 . 9 = 36

\(\Leftrightarrow MC=\sqrt{36}=6\left(cm\right)\)

Từ (2) \(\Rightarrow MC=MD=\dfrac{CD}{2}\)

\(\Leftrightarrow CD=2MC=2.6=12\left(cm\right)\)

c) Áp dụng hệ thức lượng đối với :

- \(\Delta AMC\) ta có:

MH . AC = MA . MC

\(\Leftrightarrow MH=\dfrac{MA.MC}{AC}\)

- \(\Delta BMC\) ta có:

MK . BC = MB . MC

\(\Leftrightarrow MK=\dfrac{MB.MC}{BC}\)

\(\Rightarrow MH.MK=\dfrac{MA.MC.MB.MC}{AC.BC}\)

= \(\dfrac{\left(MA.MB\right)\left(MC.MC\right)}{AC.BC}\left(6\right)\)

Vì \(\Delta ACB\) có cạnh AB là đường kính của đường tròn tâm O nên \(\Delta ACB\) vuông tại C

Áp dụng hệ thức lượng đối với \(\Delta ACB\) ta có:

MC² = MA . MB (7)

Và AC. BC = MC . AB (8)

Từ (6), (7), (8) \(\Rightarrow\dfrac{\left(MA.MB\right)\left(MC.MC\right)}{AC.BC}=\dfrac{MC^2.MC^2}{MC.AB}=\dfrac{MC^4}{MC.AB}=\dfrac{MC^3}{AB}=\dfrac{MC^3}{2R}\)

Vậy MH . MK = \(\dfrac{MC^3}{2R}\)

sửa lại là C O D

a: Xét ΔOAC và ΔOBD có

góc OAC=góc OBD

góc OCA=góc ODB

DO đó: ΔOAC đồng dạng với ΔOBD

=>AC/BD=OA/OB=1

=>AC=BD

b: Ta có: ΔOAC đồng dạng với ΔOBD

nên góc AOC=góc BOD

=>góc AOC+góc AOD=180 độ

=>C,O,D thẳng hàng

Xét ( O) có OK vuông góc với AB (GT)

=> K là trung điểm của AB ( ĐL)

=> AK=\(\frac{1}{2}\)AB=1/2*18=9cm

Trên tia AB có AM=3cm, AK=9cm=> M nằm giũa A và K

=> AM+MK=AK

=> KM=AK-AM=9-3=6

Xét (O) có OH vuông CD(GT)

-> H là td của CD( đl)

=> CH=1/2CD=1/2*14=7

Trên tia CD có MC= 4cm, CH=7cm

=> M nằm giũa C và H

=> MC+MH=CH

=>MH=3

Vì AB vuông CD tại M (GT)=> KMH=90

Xét MKOH có KMH=MKO=OHC=90

=> MKOH là hcn= OK=MH ( TC)

Mà MH=3

=> OK=3

góc M<góc N<góc P

nên NP<MP<MN

=>OK>OI>OH

Lời giải:

Vì tam giác $OCD$ cân tại $O$ nên đường cao $OM$ đồng thời cũng là đường trung tuyến

\(\Rightarrow CM=DM=\frac{CD}{2}=8\)

Đặt \(MO=a\Rightarrow OH=MH+MO=4+a\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(CM^2+MO^2=CO^2=R^2=OH^2\)

\(\Leftrightarrow 8^2+a^2=(a+4)^2\)

\(\Leftrightarrow 8a=48\Rightarrow a=6\)

Do đó bán kính của $(O)$ là: \(R=OH=a+4=6+4=10\) (cm)

Hình vẽ: