Bài 8: Vị trí tương đối của hai đường tròn (Tiếp)

1. Hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính

Xét hai đường tròn \(\left(O;R\right)\) và \(\left(O';r\right)\) với giả thiết \(R>r\).

a) Hai đường tròn cắt nhau

Giả sử hai đường tròn \(\left(O\right);\left(O'\right)\) cắt nhau tại hai điểm \(A,B\).

Khi đó, ba điểm \(A,O,O'\) không thẳng hàng nên tồn tại tam giác \(AOO'\). Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: \(OO'< OA+O'A\)

\(\Rightarrow OO'< R+r\).

b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau

+) Nếu hai đường tròn \(\left(O\right);\left(O'\right)\) tiếp xúc ngoài tại \(A\), ta có: điểm \(A\) nằm giữa \(O\) và \(O'\).

Khi đó, ta có: \(OO'=OA+O'A\Rightarrow OO'=R+r\).

+) Nếu hai đường tròn \(\left(O\right);\left(O'\right)\) tiếp xúc trong tại \(A\), ta có: điểm \(O'\) nằm giữa \(A\) và \(O\).

Khi đó, ta có: \(OO'=OA-O'A\Rightarrow OO'=R-r\).

c) Hai đường tròn không giao nhau

Hai đường tròn \(\left(O\right);\left(O'\right)\) không giao nhau có thể chia thành hai trường hợp:

+) \(\left(O\right);\left(O'\right)\) ở ngoài nhau:

Dễ thấy, trong trường hợp này: \(OO'>R+r\).

+) \(\left(O\right)\) đựng \(\left(O'\right)\):

Đặc biệt, trong hình b, khi \(O\equiv O'\), ta gọi hai đường tròn \(\left(O\right);\left(O'\right)\) là hai đường tròn đồng tâm.

Trong trường hợp này, dễ thấy: \(OO'>R-r\).

Ta cũng chứng minh được điều ngược lại của các khẳng định trên. Do đó, ta có bảng tổng kết:

2. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Định nghĩa: Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

a) Hai đường tròn ở ngoài nhau

Hai đường tròn \(\left(O\right);\left(O'\right)\) ở ngoài nhau có 4 tiếp tuyến chung, chia thành hai trường hợp:

+) Các đường thẳng \(d_1;d_2\) là các tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (chúng không cắt đoạn nối tâm).

+) Các đường thẳng \(m_1;m_2\) là các tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn (chúng cắt đoạn nối tâm).

b) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài

Hai đường tròn \(\left(O\right);\left(O'\right)\) tiếp xúc ngoài nhau thì có 3 tiếp tuyến chung, trong đó \(d_1,d_2\) là các tiếp tuyến chung ngoài và \(m\) là tiếp tuyến chung trong. 

c) Hai đường tròn cắt nhau

Hai đường tròn \(\left(O\right);\left(O'\right)\) cắt nhau thì có 2 tiếp tuyến chung là các đường \(d_1,d_2\).

d) Hai đường tròn tiếp xúc trong

Hai đường tròn \(\left(O\right);\left(O'\right)\) tiếp xúc trong thì có đúng 1 tiếp tuyến chung là đường thẳng \(d\).

e) Hai đường tròn đựng nhau

Khi \(\left(O\right)\) đựng \(\left(O'\right)\) thì hai đường tròn này không có tiếp tuyến chung.