Bài 1: Căn bậc hai

Gọi số dãy ghế phòng học có lúc đầu là x (dãy)

Gọi số người ở mỗi dãy là y (người)

Điều kiện: 0<y<70; x,y ∈ N; x>2

Vì có 70 người dự nên ta có phương trình:

\(xy=70\) (1)

Nếu bớt đi 2 dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 4 người mới đủ chỗ nên ta có phương trình:

\(\left(x-2\right)\left(y+4\right)=70\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}xy=70\\\left(x-2\right)\left(y+4\right)=70\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=\left(x-2\right)\left(y+4\right)\\xy=70\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy=xy+4x-2y-8\\xy=70\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x-2y=8\\xy=70\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y=4\\xy=70\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x-4\\x\left(2x-4\right)=70\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x-4\\2x^2-4x=70\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x-4\\x^2-2x-35=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x-4\\\left(x-7\right)\left(x+5\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x-4\\\left[{}\begin{matrix}x=7\left(TM\right)\\x=-5\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\\y=10\end{matrix}\right.\)(TM)

Vậy,...

a) bản chất là đặc biệt của (b)

=> làm (b)

\(x^3-3x^2+4mx+3x-8m-2=0\)(1)

\(\left(x^3-3x^2+3x-2\right)+\left(4x-8\right)m=0\)

\(4m\left(x-2\right)=1-\left(x-1\right)^3=\left(x-2\right)\left[\left(x-1\right)^2+\left(x-1\right)+1\right]=\left(x-2\right)\left[x^2-x+1\right]\)

Với x=2 \(\Rightarrow4m.0=0.\left(x^2-x+1\right)\)=> x =2 là nghiệm với mọi giá trị của m

Với x khác 2

chia hai vế cho x- 2 khác 0

\(4m=\left(x^2-x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{16m+3}{4}\)(2)

để 1 có 3 nghiệm pb => (2) phải có 2 nghiệm khác 2

và VP>0

\(f\left(2\right)=4-2-4m+1\ne0\Rightarrow m\ne\dfrac{3}{4}\)(a)

\(VP>0\Rightarrow m>\dfrac{3}{16}\)(b)

từ (a) và (b) Kết luận

\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne\dfrac{3}{4}\\m>\dfrac{3}{16}\end{matrix}\right.\)

Thì (1) có 3 nghiệm phân biệt

nhẩm x =2 là 1 nghiệm. thay vào ra pt bậc 2 rồi viete

thi cấp tỉnh mà có bài là quá ngon rồi !

Áp dụng BĐT \((a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)\) ta có:

\(\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{yz}{x}\right)^2 \geq 3(x^2+y^2+z^2)=9\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{yz}{x} \geq 3\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)

hết cm nó phần r

cần lém 1 người đủ đập giai làm hết 2 câu ầy @@

a) a là 1 nghiệm \(\Rightarrow\sqrt{2}a^2+a-1=0\Leftrightarrow2a^4=\left(1-a\right)^2=a^2-2a+1\)

\(\Rightarrow2a^4-2a+3=a^2-2a+1-2a+3=\left(a-2\right)^2\)

\(\sqrt{2\left(2a^4-2a+3\right)}+2a^2=\sqrt{2}\left(a-2\right)+2a^2\)(1)

mà \(\sqrt{2}a^2+a-1=0\Rightarrow2a^2+\sqrt{2}a-\sqrt{2}=0\)

(1)= \(2a^2+\sqrt{2}a-2\sqrt{2}=-\sqrt{2}\)

...

b) find nghiệm nguyên dương:

\(Pt\Leftrightarrow x^2+2y^2+2xy-2\left(x+2y\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x\left(y-1\right)+\left(2y^2-4y+1\right)=0\)\(\Delta'=\left(y-1\right)^2-\left(2y^2-4y+1\right)=-y^2+2y\ge0\)

\(\Leftrightarrow0\le y\le2\) kết hợp \(y\in N\)=> ....

đề sai à

\(VT=\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+xy+yz+xz}}+\sqrt{\dfrac{xy}{y^2+xy+yz+xz}}+\sqrt{\dfrac{xz}{z^2+xy+yz+xz}}\)

\(VT=\sqrt{\dfrac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\dfrac{xy}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\dfrac{xz}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z}}{2}\\\sqrt{\dfrac{xy}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}\le\dfrac{\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{y+z}}{2}\\\sqrt{\dfrac{xz}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\dfrac{\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{z}{y+z}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{x+y}\right)+\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{y+z}\right)+\left(\dfrac{z}{x+z}+\dfrac{x}{x+z}\right)}{2}\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{\dfrac{x+y}{x+y}+\dfrac{y+z}{y+z}+\dfrac{x+z}{x+z}}{2}=\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+2016}}+\sqrt{\dfrac{xy}{y^2+2016}}+\sqrt{\dfrac{xz}{z^2+2016}}\le\dfrac{3}{2}\) ( đpcm )

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=4\sqrt{42}\)

Sửa đề:\(\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+2016}}+\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+2016}}+\sqrt{\dfrac{xz}{y^2+2016}}\le\dfrac{3}{2}\)

Giải

Ta có:

\(\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+2016}}=\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+xy+xz+yz}}=\sqrt{\dfrac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+2016}}=\sqrt{\dfrac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{y+z}\right)\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:

\(\sqrt{\dfrac{yz}{x^2+2016}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{x+z}\right);\sqrt{\dfrac{xz}{y^2+2016}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{z}{y+z}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(\Sigma\sqrt{\dfrac{xy}{z^2+2016}}\le\dfrac{1}{2}\Sigma\left(\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{y}{y+z}\right)=\dfrac{1}{2}\Sigma\left(\dfrac{x}{x+z}+\dfrac{z}{x+z}\right)=\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=4\sqrt{42}\)

xí bài này nhé, lát nữa hoặc mai giải

Sửa đề: Cho thêm a,b,c dương

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+2b^2+3c^2\ge6\sqrt[6]{a^2\cdot b^2\cdot b^2\cdot c^2\cdot c^2\cdot c^2}=6\sqrt[6]{a^2b^4c^6}\)

\(\Rightarrow3abc\ge6\sqrt[6]{a^2b^4c^6}\Leftrightarrow abc\ge2\sqrt[6]{a^2b^4c^6}\)

\(\Leftrightarrow a^6b^6c^6\ge64a^2b^4c^6\Leftrightarrow a^4b^2\ge64\Leftrightarrow a^2b\ge8\)

\(\Rightarrow2\le\sqrt[3]{a\cdot a\cdot b}\le\dfrac{2a+b}{3}\Leftrightarrow2a+b\ge6\)

Khi đó ta có: \(P=2a+\dfrac{8}{a}+\dfrac{3b}{2}+\dfrac{6}{b}+c+\dfrac{4}{c}+\dfrac{2a+b}{2}\)

Áp dụng tiếp BĐT AM-GM ta có:

\(P\ge2\sqrt{2a\cdot\dfrac{8}{a}}+2\sqrt{\dfrac{3b}{2}\cdot\dfrac{6}{b}}+2\sqrt{c\cdot\dfrac{4}{c}}+\dfrac{6}{2}\left(2a+b\ge6\right)\)

\(=2\sqrt{16}+2\sqrt{9}+2\sqrt{4}+3=8+6+4+3=21\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=2\)

(n²+8n+7)(n²+8n+15)+15

n²+8n+7=a

=> a(a+8)+15=a²+8a+15=(a+3)(a+5)

Đặt \(a=\dfrac{9+3\sqrt{17}}{4}\) và \(b=\dfrac{3+\sqrt{17}}{4}\), khi đó \(a=3b\) và \(a+1=2b^2=c=\dfrac{13+3\sqrt{17}}{4}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta thu được các bất đẳng thức sau:

\(x^2+b^2y^2\ge2xby\)

\(by^2+z^2\ge2byz\)

\(a\left(z^2+x^2\right)\ge2azx\)

Đến đây ta cộng vế theo vế các bất đẳng thức thu được để có:

\(\left(a+1\right)\left(x^2+z^2\right)+2b^2y^2\ge2b\left(xy+yz\right)+2azx\)hay \(c\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2b\left(xy+yz+3zx\right)\)

Từ đó ta thay các giá trị của \(xy+yz+3zx,b\) và \(c\) để được:

\(P=x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\sqrt{17}-3}{2}\)

Cuối cùng, với \(x=z=\dfrac{1}{\sqrt[4]{17}}\) và \(y=\sqrt{\dfrac{13\sqrt{17}-51}{34}}\) (thỏa mãn giả thiết) thì \(P=\dfrac{\sqrt{17}-3}{2}\) nên ta kết luận \(\dfrac{\sqrt{17}-3}{2}\) là GTNN của biểu thức \(P\)

Sao ông cứ tham thế nhỉ tự hỏi tự trả lời nữa cẩn thận bị cắt CTV