Bài 9: Căn bậc ba

1. Khái niệm căn bậc ba

Căn bậc ba của số \(a\) là số \(x\) sao cho \(x^3=a\).

Ví dụ: Căn bậc ba của 8 là 2 vì \(2^3=8\); Căn bậc ba của \(-125\) là \(-5\) vì \(\left(-5\right)^3=-125\); Căn bậc ba của \(\dfrac{1}{27}\) là \(\dfrac{1}{3}\) vì \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{1}{27}\);...

Trên thực tế, ta vẫn gặp nhiều bài toán phải tìm căn bậc ba của một số.

Ví dụ: Một cái hộp hình lập phương có thể tích \(216l\). Hỏi cạnh của nó dài bao nhiêu?

Gọi cạnh cái hộp là \(x\left(dm\right)\). Ta có: \(x^3=216\), nghĩa là cạnh của hộp là căn bậc ba của 216.

Dễ thấy \(6^3=216\), suy ra \(x=6\left(dm\right)\).

Ta thừa nhận các tính chất sau:

• Mỗi số có duy nhất một căn bậc ba.
• Căn bậc ba của số \(a\) kí hiệu là \(\sqrt[3]{a}\). (Ví dụ: Từ các kết quả phía trên, ta có thể viết: \(\sqrt[3]{8}=2\); \(\sqrt[3]{-125}=-5\); \(\sqrt[3]{\dfrac{1}{27}}=\dfrac{1}{3}\);...).
• Phép tìm căn bậc ba của một số được gọi là phép khai căn bậc ba.
• Chú ý: Từ định nghĩa căn bậc ba, ta có: 

\(\left(\sqrt[3]{a}\right)^3=\sqrt[3]{a^3}=a\)

Ví dụ: \(\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3;\sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{\left(-4\right)^3}=-4;...\)

Nhận xét: 

• Căn bậc ba của số dương là số dương.
• Căn bậc ba của số âm là số âm.
• Căn bậc ba của số 0 là 0.

2. Tính chất

Tương tự như căn bậc hai, ta cũng có các tính chất của căn bậc ba:

• \(a< b\Leftrightarrow\sqrt[3]{a}< \sqrt[3]{b}\)
• \(\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}\)
• Với \(b\ne0\): \(\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}\)

Dựa vào các tính chất trên, ta có thể so sánh, tính toán, biến đổi các biểu thức chứa căn bậc ba tương tự như căn bậc hai.

• Đưa thừa số vào trong (ra ngoài) dấu căn: 

​\(a\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a^3b}\).

• Khử mẫu: 

​\(\dfrac{A}{\sqrt[3]{B}}=\dfrac{A\sqrt[3]{B^2}}{B}\).

• Trục căn thức: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu, trong đó:

\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\) có biểu thức liên hợp là \(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\);

\(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\) có biểu thức liên hợp là \(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\);

\(\sqrt[3]{a}+b\) có biểu thức liên hợp là \(\sqrt[3]{a^2}-b\sqrt[3]{a}+b^2\);

\(\sqrt[3]{a}-b\) có biểu thức liên hợp là \(\sqrt[3]{a^2}+b\sqrt[3]{a}+b^2\).

Ví dụ 1: So sánh 3 và \(\sqrt[3]{30}\), ta có: \(3=\sqrt[3]{3^3}=\sqrt[3]{27}\). Do \(27< 30\Rightarrow3< \sqrt[3]{30}\).

Ví dụ 2: \(\dfrac{\sqrt[3]{135}}{\sqrt[3]{5}}-\sqrt[3]{54}.\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{\dfrac{135}{5}}-\sqrt[3]{54.4}=\sqrt[3]{27}-\sqrt[3]{216}=3-6=-3\).

Ví dụ 3: \(\sqrt[3]{-64a^6}+5a^2=\sqrt[3]{\left(-4a^2\right)^3}+5a^2=-4a^2+5a^2=a^2\).

Ví dụ 4: \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{a}-2}=\dfrac{\sqrt[3]{a^2}+2\sqrt[3]{a}+4}{\left(\sqrt[3]{a}-2\right)\left(\sqrt[3]{a^2}+2\sqrt[3]{a}+4\right)}=\dfrac{\sqrt[3]{a^2}+2\sqrt[3]{a}+4}{a-8}\).