Nội dung lý thuyết
Ví dụ: \(\sqrt{\dfrac{9}{49}}=\sqrt{\left(\dfrac{3}{7}\right)^2}=\dfrac{3}{7};\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{49}}=\dfrac{3}{7}\Rightarrow\sqrt{\dfrac{9}{49}}=\dfrac{\sqrt{9}}{49}\).
Với số \(a\) không âm và số \(b\) dương, ta có:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
Ta có thể chứng minh định lí trên như sau:
Vì \(a\ge0,b>0\) nên \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) xác định và không âm.
Ta có: \(\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2=\dfrac{\left(\sqrt{a}\right)^2}{\left(\sqrt{b}\right)^2}=\dfrac{a}{b}\)
Vậy \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) là căn bậc hai số học của \(\dfrac{a}{b}\), tức là \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).
Muốn khai phương một thương \(\dfrac{a}{b}\), trong đó \(a\) là số không âm và \(b\) là số dương, ta có thể khai phương số \(a\) và số \(b\), sau đó lấy kết quả thứ nhất chia kết quả thứ hai.
Ví dụ: \(\sqrt{\dfrac{25}{225}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{225}}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}\);
\(\sqrt{0,0144}=\sqrt{\dfrac{144}{10000}}=\dfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{10000}}=\dfrac{12}{100}=0,12\);
\(\sqrt{\dfrac{9}{16}:\dfrac{25}{4}}=\sqrt{\dfrac{9}{16}}:\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{3}{4}:\dfrac{5}{2}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}\).
Muốn chia căn bậc hai của số \(a\) không âm cho số \(b\) dương, ta có thể lấy \(a\) chia \(b\) rồi khai phương kết quả.
Ví dụ: \(\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{50}{2}}=\sqrt{25}=5\);
\(\dfrac{\sqrt{720}}{\sqrt{0,8}}=\sqrt{\dfrac{720}{0,8}}=\sqrt{\dfrac{7200}{8}}=\sqrt{900}=30\);
Một cách tổng quát:
Với biểu thức \(A\) không âm và biểu thức \(B\) dương, ta có
\(\sqrt{\dfrac{A}{B}}=\dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}\)
Ví dụ 1: Với \(a>0\) ta có: \(\dfrac{\sqrt{63a}}{\sqrt{7a^3}}=\sqrt{\dfrac{63a}{7a^3}}=\sqrt{\dfrac{9}{a^2}}=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{a^2}}=\dfrac{3}{a}\);
Với \(x< 0,y>0\) ta có: \(\dfrac{2y}{x}.\sqrt{\dfrac{9x^2}{25y^6}}=\dfrac{2y}{x}.\dfrac{\sqrt{9x^2}}{\sqrt{25y^6}}=\dfrac{2y}{x}.\dfrac{\sqrt{9}.\sqrt{x^2}}{\sqrt{25}.\sqrt{y^6}}=\dfrac{2y}{x}.\dfrac{3\left|x\right|}{5\left|y^3\right|}=-\dfrac{6xy}{5xy^3}=-\dfrac{6}{5y^2}\)
Ví dụ 2: Tìm \(x\) biết \(\sqrt{2}x-\sqrt{2}=\sqrt{8}+\sqrt{18}\)
Ta có: \(\sqrt{2}x-\sqrt{2}=\sqrt{8}+\sqrt{18}\Leftrightarrow\sqrt{2}\left(x-1\right)=\sqrt{8}+\sqrt{18}\)
\(\Leftrightarrow x-1=\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}+\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x-1=\sqrt{\dfrac{8}{2}}+\sqrt{\dfrac{18}{2}}\)
\(\Leftrightarrow x-1=\sqrt{4}+\sqrt{9}\Leftrightarrow x-1=2+3\Leftrightarrow x=6\).
Lưu ý: Với \(a>b\ge0\) ta có: \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\le\sqrt{a-b}\).
Ví dụ: \(\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2;\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\)
\(\Rightarrow\sqrt{25}-\sqrt{9}< \sqrt{25-9}\).