Nội dung lý thuyết
Các phiên bản khácKhi biến đổi một biểu thức chứa căn bậc hai, ta có thể sử dụng phép khử mẫu của một biểu thức lấy căn.
Ví dụ: a) \(\sqrt{\dfrac{3}{5}}=\sqrt{\dfrac{3.5}{5.5}}=\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{5^2}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}\);
b) Với \(ab>0\), \(\sqrt{\dfrac{2a}{7b}}=\sqrt{\dfrac{2a.7b}{7b.7b}}=\dfrac{\sqrt{14ab}}{\sqrt{\left(7b\right)^2}}=\dfrac{\sqrt{14ab}}{\left|7b\right|}=\dfrac{\sqrt{14ab}}{7\left|b\right|}\).
Một cách tổng quát:
Với các biểu thức \(A,B\) mà \(AB>0\) và \(B\ne0\), ta có:
\(\sqrt{\dfrac{A}{B}}=\dfrac{\sqrt{AB}}{\left|B\right|}\)
Ví dụ: a) \(\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\sqrt{2.3}}{3}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\);
b) \(\sqrt{\dfrac{3}{4a^3}}=\dfrac{\sqrt{3.4a^3}}{4a^3}=\dfrac{\sqrt{4a^2}.\sqrt{3a}}{4a^3}=\dfrac{2a\sqrt{3a}}{4a^3}=\dfrac{\sqrt{3a}}{2a^2}\) (với \(a>0\));
c) \(xy\sqrt{\dfrac{3}{2xy}}=xy.\dfrac{\sqrt{3.2xy}}{\sqrt{\left(2xy\right)^2}}=xy.\dfrac{\sqrt{6xy}}{2\left|xy\right|}=xy.\dfrac{\sqrt{6xy}}{2xy}=\dfrac{\sqrt{6xy}}{2}\) (với \(xy>0\)).
Ta xét một số ví dụ:
a) \(\dfrac{3}{2\sqrt{5}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{5^2}}=\dfrac{3\sqrt{5}}{10}\)
b) \(\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=\dfrac{\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4-3}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{1}=2+\sqrt{3}\);
c) \(\dfrac{3}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=\dfrac{3\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}=\dfrac{3\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{7-5}=\dfrac{3\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)}{2}\).
Ở các ví dụ trên, mục đích chung của việc biến đổi đều là làm mất căn ở mẫu.
Trong ví dụ b), ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức \(2+\sqrt{3}\). Ta gọi biểu thức \(2+\sqrt{3}\) là biểu thức liên hợp của \(2-\sqrt{3}\).
Tương tự trong ví dụ c), ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của \(\sqrt{7}-\sqrt{5}\) là \(\sqrt{7}+\sqrt{5}\).
Một cách tổng quát:
a) Với các biểu thức \(A,B\) và \(B>0\), ta có:
\(\dfrac{A}{\sqrt{B}}=\dfrac{A\sqrt{B}}{B}\)
b) Với các biểu thức \(A,B,C\) mà \(A\ge0;A\ne B^2\), ta có
\(\dfrac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\dfrac{C\left(\sqrt{A}\mp B\right)}{A-B}\)
c) Với các biểu thức \(A,B,C\) mà \(A\ge0;B\ge0;A\ne B\) ta có
\(\dfrac{C}{\sqrt{A}\pm\sqrt{B}}=\dfrac{C\left(\sqrt{A}\mp\sqrt{B}\right)}{A-B}\)
Ta có thể ghi nhớ nhanh bằng cách: Muốn trục căn thức một biểu thức chứa căn ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.
Ví dụ: a) \(\dfrac{4}{3\sqrt{6}}=\dfrac{4\sqrt{6}}{3.\sqrt{6^2}}=\dfrac{4\sqrt{6}}{3.6}=\dfrac{2\sqrt{6}}{9}\); Với \(x>0\), \(\dfrac{2}{\sqrt{3x}}=\dfrac{2\sqrt{3x}}{3x}\).
b) \(\dfrac{3}{2\sqrt{5}-1}=\dfrac{3\left(2\sqrt{5}+1\right)}{\left(2\sqrt{5}-1\right)\left(2\sqrt{5}+1\right)}=\dfrac{3\left(2\sqrt{5}+1\right)}{\left(2\sqrt{5}\right)^2-1}=\dfrac{3\left(2\sqrt{5}+1\right)}{20-1}=\dfrac{3\left(2\sqrt{5}+1\right)}{19}\);
Với \(a\ge0;a\ne1\) ta có \(\dfrac{a+1}{1-\sqrt{a}}=\dfrac{\left(a+1\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}=\dfrac{\left(a+1\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}{1-a}\).
c) \(\dfrac{12}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}=\dfrac{12\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)}=\dfrac{12\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)}{6-3}=4\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)\);
Với \(a>b>0\) ta có: \(\dfrac{3a}{2\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{3a\left(2\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(2\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(2\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\dfrac{3a\left(2\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{4a-b}\).
Thu Thao đã đóng góp một phiên bản khác cho bài học này (19 tháng 4 2021 lúc 22:39) | 0 lượt thích |