Giải bài tập Sách Giáo Khoa - Bài 7 Biến đối đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (Tiếp theo) - Toán 9

Bài 48 (SGK trang 29)

Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

$\sqrt{\dfrac{1}{600}};\sqrt{\dfrac{11}{540}};\sqrt{\dfrac{3}{50}};\sqrt{\dfrac{5}{98}};\sqrt{\dfrac{\left(1-\sqrt{3}\right)^2}{27}}.$

Hướng dẫn giải

$\sqrt{\frac{1}{600}}=\frac{\sqrt{6}}{60}$ ;

$\sqrt{\frac{11}{540}}=\frac{\sqrt{165}}{90};$

$\sqrt{\frac{3}{50}}=\frac{\sqrt{6}}{10};$

$\sqrt{\frac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}=\frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{3}}{9}.$
(Trả lời bởi le tran nhat linh )

Thảo luận (1)

Bài 49 (SGK trang 29)

Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

$ab\sqrt{\dfrac{a}{b}};\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}};\sqrt{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^2}};\sqrt{\dfrac{9a^3}{36b}};3xy\sqrt{\dfrac{2}{xy}}.$

(Giả thiết các biểu thức có nghĩa).

Hướng dẫn giải

$\sqrt{\frac{a}{b}}$ có nghĩa khi $\frac{a}{b}\geq 0$ và $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}.$
Nếu $a\geq 0, b> 0$ thì $ab\sqrt{\frac{a}{b}}=a\sqrt{ab}.$
Nếu $a0, b0$ thì $ab\sqrt{\frac{a}{b}}=-a\sqrt{ab}.$ Tương tự như vậy ta có: $\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{ba}}{b}.$
Nếu $a 0, b 0$ thì $\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{a}{b}\frac{\sqrt{ba}}{\left | a \right |}.$
Nếu $a0, b0$ thì $\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=-\frac{\sqrt{ba}}{b}.$ Ta có: $\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=\sqrt{\frac{b+1}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{b+1}}{\left | b \right |}.$
Điều kiện để căn thức có nghĩa là $b+1\geq 0$ hay $b\geq -1.$ Do đó:
Nếu b>0 thì $\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{b+1}}{ b }.$
Nếu $-1\leq b< 0$ thì $\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=-\frac{\sqrt{b+1}}{b}.$ Điều kiện để $\sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}}$ có nghĩa là $\frac{9a^{3}}{36b}\geq 0$ hay $\frac{a}{b}\geq 0$
Cách 1. $\sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}}=\sqrt{\frac{a^{3}}{4b}}=\frac{\sqrt{4a^{3}b}}{4\left | b \right |}=\frac{\sqrt{4a^{2}\cdot ab}}{4\left | b \right |}=\frac{2\left | a \right |\sqrt{ab}}{4b}.$
= $\frac{1}{2}\left | \frac{a}{b} \right |\sqrt{ab}=\frac{a\sqrt{ab}}{2b}.$
Cách 2. Biến mẫu thành một bình phương rồi áp dụng quy tắc khai phương một thương: $\sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}}=\sqrt{\frac{a^{3}b}{4b^{2}}}=\frac{\sqrt{a^{3}b}}{\sqrt{ab^{2}}}=\frac{\left | a \right |\sqrt{ab}}{2\left | b \right |}=\frac{1}{2}\left | \frac{a}{b} \right |\sqrt{ab}=\frac{a\sqrt{ab}}{2b}.$ Điều kiện để $\sqrt{\frac{2}{xy}}$ có nghĩa là $\frac{2}{xy}\geq 0$ hay xy>0.
Do đó
$3xy\sqrt{\frac{2}{xy}}=3xy\frac{\sqrt{2xy}}{\left | xy \right |}=3xy\frac{\sqrt{2xy}}{xy}=3\sqrt{2xy}.$

(Trả lời bởi le tran nhat linh )

Thảo luận (1)

Bài 50 (SGK trang 30)

Trục căn thức ở mẫu và giả thiết các biểu thức đều có nghĩa:

$\dfrac{5}{\sqrt{10}};\dfrac{5}{2\sqrt{5}};\dfrac{1}{3\sqrt{20}};\dfrac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}};\dfrac{y+b\sqrt{y}}{b.\sqrt{y}}.$

Hướng dẫn giải

$\frac{\sqrt{10}}{2}; \frac{\sqrt{5}}{2}; \frac{\sqrt{5}}{30};\frac{2+\sqrt{2}}{5};\frac{\sqrt{y+b}}{b}.$
(Trả lời bởi le tran nhat linh )

Thảo luận (2)

Bài 51 (SGK trang 30)

Trục căn thức ở mẫu và giả thiết các biểu thức đều có nghĩa:

$\dfrac{3}{\sqrt{3}+1};\dfrac{2}{\sqrt{3}-1};\dfrac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}};\dfrac{b}{3+\sqrt{b}};\dfrac{p}{2\sqrt{p}-1}.$

Hướng dẫn giải

$\frac{3(\sqrt{3}-1)}{2}; \sqrt{3}+1; 7+4\sqrt{3};\frac{b(3-\sqrt{b})}{9-b}; \frac{p(2\sqrt{p}+1)}{4p-1}.$
(Trả lời bởi le tran nhat linh )

Thảo luận (2)

Bài 52 (SGK trang 30)

Trục căn thức ở mẫu và giả thiết các biểu thức đều có nghĩa:

$\dfrac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}};\dfrac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}};\dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}};\dfrac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}.$

Hướng dẫn giải

$\dfrac{2ab}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{2ab\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\dfrac{2ab\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{a-b}$

$\dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}=\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}$

$\dfrac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}=\dfrac{3\left(\sqrt{10}-\sqrt{7}\right)}{\left(\sqrt{10}+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{10}-\sqrt{7}\right)}=\dfrac{3\left(\sqrt{10}-\sqrt{7}\right)}{10-7}=\dfrac{3\left(\sqrt{10}-\sqrt{7}\right)}{3}=\sqrt{10}-\sqrt{7}$

$\dfrac{2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\dfrac{2\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)}=\dfrac{2\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)}{6-5}=2\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)$
(Trả lời bởi anh thu)

Thảo luận (2)

Luyện tập - Bài 53 (SGK trang 30)

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa):

a. $\sqrt{18\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2};$

b. $ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2b^2}};$

c. $\sqrt{\dfrac{a}{b^3}+\dfrac{a}{b^4}};$

d. $\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.$

Hướng dẫn giải

a) ĐS: $3(\sqrt{6}-2)$ .

b) ĐS: Nếu $ab 0$ thì $ab\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}b^{2}}}=\sqrt{{a^{2}b^{2}+1}}.$

Nếu ab

c) ĐS: $\frac{\sqrt{ab+a}}{b^{2}}.$

d) $\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(a+\sqrt{ab})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}=\frac{a\sqrt{a}-a\sqrt{b}+\sqrt{ab}\sqrt{a}-\sqrt{ab}\sqrt{b}}{a-b}$

$=\frac{a\sqrt{a}-a\sqrt{b}+\sqrt{a^{2}b}-\sqrt{ab^{2}}}{a-b}=\frac{a\sqrt{a}-a\sqrt{b}+a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{a-b}$

$=\frac{(a-b)\sqrt{a}}{a-b}=\sqrt{a}.$

Nhận xét. Nhận thấy rằng để $sqrt{a}$ có nghĩa thì $ageq 0.$ Do đó $a=(\sqrt{a})^{2}$ . Vì thế có thể phân tích tử thành nhân tử.

$\frac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{(\sqrt{a})^{2}+\sqrt{a}.\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}.$

(Trả lời bởi le tran nhat linh )

Thảo luận (3)

Luyện tập - Bài 54 (SGK trang 30)

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) dfrac{2+sqrt{2}}{1+sqrt{2}} dfrac{sqrt{15}-sqrt{5}}{1-sqrt{3}} dfrac{2sqrt{3}-sqrt{6}}{sqrt{8}-2} dfrac{a-sqrt{a}}{1-sqrt{a}} dfrac{p-2sqrt{p}}{sqrt{p}-2}

Đọc tiếp

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa)

$\dfrac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$ $\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}$ $\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{8}-2}$ $\dfrac{a-\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}$ $\dfrac{p-2\sqrt{p}}{\sqrt{p}-2}$

Hướng dẫn giải

Nhận xét: Cách làm thứ nhật (nhận dạng tử có thể phân tích thành nhân tử để rút gọn nhân tử đó với mẫu thích hợp hơn cách làm thứ hai (trục căn thức ở mẫu rồi thu gọn). Vì trục căn thức ở mẫu rồi rút gọn sẽ thêm nhiều phép nhân.

(Trả lời bởi Thảo Phương)

Thảo luận (2)

Luyện tập - Bài 55 (SGK trang 30)

Phân tích thành nhân tử (với a, b, x, y là các số không âm)

a) $ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1$

b) $\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}+\sqrt{x^2y}-\sqrt{xy^2}$

Hướng dẫn giải

a. $ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1=b\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)+\left(\sqrt{a}+1\right)=\left(\sqrt{a}+1\right)\left(b\sqrt{a}+1\right)$

b. $\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}+\sqrt{x^2y}-\sqrt{xy^2}=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)+\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+2\sqrt{xy}+y\right)=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2$
(Trả lời bởi katherina)

Thảo luận (1)

Luyện tập - Bài 56 (SGK trang 30)

Sắp xếp theo thứ tự tăng dần :

a) $3\sqrt{5};2\sqrt{6};\sqrt{29};4\sqrt{2}$

b) $6\sqrt{2};\sqrt{38};3\sqrt{7};2\sqrt{14}$

Hướng dẫn giải

a. $3\sqrt{5}=\sqrt{45}$ ; $2\sqrt{6}=\sqrt{24}$ ; $4\sqrt{2}=\sqrt{32}$

Vì 24 < 29 < 32 < 45 nên $\sqrt{24}< \sqrt{29}< \sqrt{32}< \sqrt{45}$

Hay $2\sqrt{6}< \sqrt{29}< 4\sqrt{2}< 3\sqrt{5}$

b. $6\sqrt{2}=\sqrt{72}$ ; $3\sqrt{7}=\sqrt{63}$ ; $2\sqrt{14}=\sqrt{56}$

Vì 38 < 56 < 63 < 72 nên $\sqrt{38}< \sqrt{56}< \sqrt{63}< \sqrt{72}$

Hay $\sqrt{38}< 2\sqrt{14}< 3\sqrt{7}< 6\sqrt{2}$
(Trả lời bởi katherina)

Thảo luận (2)

Luyện tập - Bài 57 (SGK trang 30)

$\sqrt{25x}-\sqrt{16x}=9$ khi $x$ bằng :

(A) 1 (B) 3 (C) 9 (D) 81

Hãy chọn câu trả lời đúng

Hướng dẫn giải

$\sqrt{25x}-\sqrt{16x}=9$ khi $x$ bằng :

(A) 1 (B) 3 (C) 9 (D) 81
(Trả lời bởi qwerty)

Thảo luận (2)

Bài 7: Biến đối đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (Tiếp theo)

Bài 48 (SGK trang 29)

Bài 49 (SGK trang 29)

Bài 50 (SGK trang 30)

Bài 51 (SGK trang 30)

Bài 52 (SGK trang 30)

Luyện tập - Bài 53 (SGK trang 30)

Luyện tập - Bài 54 (SGK trang 30)

Luyện tập - Bài 55 (SGK trang 30)

Luyện tập - Bài 56 (SGK trang 30)

Luyện tập - Bài 57 (SGK trang 30)

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)