Question

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x - y + 1 - \(\sqrt{2}\) = 0 và điểm A(-1; 1). Khi đó có hai phương trình đường tròn đi qua A, gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường thẳng d có tâm lần lượt là I, K. Tìm độ dài IK

Answer 1

Gọi M là trung điểm OA \(\Rightarrow M\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)

\(\overrightarrow{AO}=\left(1;-1\right)\Rightarrow\) trung trực của OA nhận \(\left(1;-1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình trung trực d' của OA:

\(1\left(x+\frac{1}{2}\right)-1\left(y-\frac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow x-y+1=0\)

Đường tròn qua O và A có tâm thuộc d', gọi tâm đường tròn là \(J\left(a;a+1\right)\)

Bán kính đường tròn bằng khoảng cách từ J đến d:

\(R=d\left(J;d\right)=\frac{\left|a-\left(a+1\right)+1-\sqrt{2}\right|}{\sqrt{1+1}}=1\)

\(\overrightarrow{OJ}=\left(a;a+1\right)\Rightarrow OJ=\sqrt{a^2+\left(a+1\right)^2}=\sqrt{2a^2+2a+1}\)

Mà \(OJ=R\Rightarrow2a^2+2a+1=1\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}I\left(0;1\right)\\K\left(-1;0\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{IK}=\left(-1;-1\right)\Rightarrow IK=\sqrt{2}\)