Question

Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy, cho điểm A( -2; -1) và đường tròn (C) : x²+y²–4x–6y = 0

1. Chứng minh rằng A là một điểm nằm ngoài đường tròn (C).

2. Viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm A và tiếp xúc với đường tròn (C).

Câu 2: Viết phương trình đường tròn đi qua A(1,0) và tiếp xúc với hai đường thẳng ∆₁: x+y – 2 = 0, ∆₂”: –x + y – 3 = 0

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C): (x – 2)² + (x+ ³/₂)² =25 và một điểm M(–1; 3).Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 8

Answer 1

Câu 1:

Đường tròn tâm \(I\left(2;3\right)\) bán kính \(R=\sqrt{13}\)

\(\overrightarrow{AI}=\left(4;4\right)\Rightarrow AI=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}>\sqrt{13}\)

\(\Rightarrow AI>R\Rightarrow A\) nằm ngoài đường tròn

Đường thẳng d qua A có dạng:

\(a\left(x+2\right)+b\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow ax+by+2a+b=0\)

Do d tiếp xúc (C) nên \(d\left(I;d\right)=R\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|2a+3b+2a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{13}\Leftrightarrow\left|4a+4b\right|=\sqrt{13a^2+13b^2}\)

\(\Leftrightarrow16\left(a+b\right)^2=13\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3a^2+32ab+3b^2=0\)

Chọn \(a=1\Rightarrow3b^2+32b+3=0\Rightarrow b=\frac{-16\pm\sqrt{247}}{3}\)

Số xấu khủng khiếp, có 2 pt thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}x+\frac{-16+\sqrt{247}}{3}y+\frac{-10+\sqrt{247}}{3}=0\\x-\frac{16+\sqrt{247}}{3}y+\frac{-10-\sqrt{247}}{3}=0\end{matrix}\right.\)

Answer 2

Câu 2:

Gọi M là giao điểm \(d_1;d_2\Rightarrow\) tọa độ M là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y-2=0\\-x+y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(-\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)\)

Do \(d_1\) có hệ số góc \(-1\Rightarrow d_1\) tạo với chiều âm trục Ox 1 góc 45 độ

\(d_2\) có hệ số góc \(1\Rightarrow d_2\) tạo với chiều dương trục Ox 1 góc \(45^0\)

Mà \(\overrightarrow{n_{d1}}.\overrightarrow{n_{d2}}=0\Rightarrow d_1\perp d_2\)

\(\Rightarrow\) 3 giao điểm của \(d_1;d_2;Ox\) tạo thành một tam giác vuông cân tại M

\(\Rightarrow\) hai đường phân giác góc tạo bởi \(d_1\) và \(d_2\) lần lượt vuông góc với Ox và Oy

\(\Rightarrow\) Hai đường phân giác góc tạo bởi d1 và d2 lần lượt có pt là \(\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

- TH1: tâm I của đường tròn nằm trên \(x=-\frac{1}{2}\Rightarrow I\left(-\frac{1}{2};b\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{IA}=\left(\frac{3}{2};-b\right)\Rightarrow R^2=IA^2=b^2+\frac{9}{4}\)

Mặt khác theo công thức khoảng cách:

\(d\left(I;d_1\right)=R\Rightarrow\frac{\left|-\frac{1}{2}+b-2\right|}{\sqrt{2}}=R\Rightarrow\frac{\left(b-\frac{5}{2}\right)^2}{2}=R^2\)

\(\Rightarrow b^2+\frac{9}{4}=\frac{\left(b-\frac{5}{2}\right)^2}{2}\Leftrightarrow2b^2+\frac{9}{2}-\left(b-\frac{5}{2}\right)^2=0\)

Nghiệm lại xấu nữa, bạn tự giải tiếp

TH2: tâm I của đường tròn nằm trên \(y=\frac{5}{2}\Rightarrow I\left(a;\frac{5}{2}\right)\) làm tương tự TH1

Answer 3

Câu 3:

Chắc pt đường tròn là \(\left(x-2\right)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=25\)

Gọi d là đường thẳng qua M. Đường tròn tâm \(I\left(2;-\frac{3}{2}\right)\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(d\left(I;d\right)=\sqrt{5^2-\left(\frac{8}{2}\right)^2}=3\)

Phương trình d qua M có dạng:

\(a\left(x+1\right)+b\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow ax+by+a-3b=0\)

Theo công thức khoảng cách:

\(d\left(I;d\right)=\frac{\left|2a-\frac{3}{2}b+a-3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=3\Leftrightarrow\left|2a-3b\right|=2\sqrt{a^2+b^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(2a-3b\right)^2=4\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow5b^2-12ab=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=0\\5b=12a\end{matrix}\right.\)

Chọn \(b=12\Rightarrow a=5\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\5x+12y-31=0\end{matrix}\right.\)