Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hiếu Minh

Giải hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{y}}=2\\\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}=2\end{matrix}\right.\)

missing you =
17 tháng 6 2022 lúc 8:06

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{y}}=2\left(1\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}=2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)\(\left(x;y>0\right)\)

\(\left(1\right)-\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{y}}-\dfrac{1}{\sqrt{y}}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{1}{x}-1-\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}}+\dfrac{1+\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{y}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-1}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}=\sqrt{1+\dfrac{1}{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}-\sqrt{1+\dfrac{1}{y}}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}}+\dfrac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{y}}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{y}}}>0\left(x;y>0\right)\right)=0\)

\(\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}\Leftrightarrow x=y\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}=2\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{3}{4}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}-\dfrac{5}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{9}{16}}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{3}{4}}+\dfrac{1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{25}{16}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+\dfrac{5}{4}}=0\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{9}{16}\right)\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{3}{4}}+\dfrac{1}{\dfrac{5}{4}+\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}}\right)=0\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}=\dfrac{9}{16}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{16}{9}\)


Các câu hỏi tương tự
Kiều Phương Phạm
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Anh
Xem chi tiết
DŨNG
Xem chi tiết
Miko
Xem chi tiết
Rhider
Xem chi tiết
Kim Tuyền
Xem chi tiết
Nott mee
Xem chi tiết
ILoveMath
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Nhật
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Anh
Xem chi tiết