Question

Chứng minh rằng: \(4\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge3\left(a+b+c\right)^2\)

Akai Haruma Nguyễn Huy Thắng Giúp em với ạ!! :::)))

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\((a^2+1)[1+(b+c)^2]\geq (a+b+c)^2\)

Do đó ta chỉ cần chỉ ra rằng

\(4(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq 3(a^2+1)[1+(b+c)^2]\)

\(\Leftrightarrow 4(b^2+1)(c^2+1)\geq 3[1+(b+c)^2]\)

\(\Leftrightarrow 4b^2c^2+1+b^2+c^2\geq 6bc\)

\(\Leftrightarrow (2bc-1)^2+(b-c)^2\geq 0\) ( luôn đúng)

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}\)