Question

Cho \(x,y,z\in\left[0;2\right]\) . Tìm GTLN của biểu thức

\(P=\frac{1}{8}\left[\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(4-z\right)+\frac{8x}{y+z+2}+\frac{8y}{z+x+2}+\frac{8z}{x+y+2}\right]\)

Answer 1

Lời giải:

Đặt \((x,y,z)=(2a,b,2c)\Rightarrow a,b,c\in\left [ 0;1 \right ]\)

Bằng cách dự đoán điểm rơi, ta sẽ đi chứng minh $P\leq 2$, tức là CM:

\(P=(1-a)(1-b)(2-c)+\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}\leq 2\). Thật vậy.

AM-GM cho bộ $1-a,1-b,a+b+1$ dương, ta có:

\(3=1-a+1-b+a+b+1\geq 3\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(a+b+1)}\)

\(\Rightarrow (1-a)(1-b)(a+b+1)\leq 1\rightarrow (1-a)(1-b)(2-c)\leq \frac{2-c}{a+b+1}\)

Cần CM: \(\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{2}{a+b+1}\leq 2\)\(\Leftrightarrow \frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}\leq \frac{2a+2b}{a+b+1}\)

Hiển nhiên đúng vì \(b+c+1,a+c+1>\frac{a+b+1}{2}\forall a,b,c\in [0;1]\)

Vậy \(P_{max}=2\Leftrightarrow a=b=0;c\in [0;1]\)