a) \(\Delta=\left(m-1\right)^2+4m=\left(m+1\right)^2\ge0\forall m\)
\(\Rightarrow\) Pt (1) luôn có nghiệm với mọi m
Vậy pt (1) luôn có nghiệm với mọi m.
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1-m\\x_1x_2=-m\end{matrix}\right.\)
Khi đó: \(x_1^2+x_2^2-x_1x_2=3\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=3\)
\(\Rightarrow\left(1-m\right)^2-3\cdot\left(-m\right)=3\)
\(\Leftrightarrow m^2-2m+1+3m=3\)
\(\Leftrightarrow m^2+m-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy \(m\in\left\{1;-2\right\}\) là các giá trị cần tìm.
\(\text{#}Toru\)
a) ∆ = (m - 1)² - 4.1.(-m)
= m² - 2m + 1 + 4m
= m² + 2m + 1
= (m + 1)² ≥ 0 với mọi m ∈ R
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m ∈ R
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x₁ + x₂ = -m - 1
x₁x₂ = -m
x₁² + x₂² - x₁x₂ = 3
(x₁ + x₂)² - x₁x₂ = 3
(-m - 1)² - (-m) = 3
m² + 2m + 1 + m - 3 = 0
m² + 3m - 2 = 0
4m² + 12m - 8 = 0
4m² + 2.2m.3 + 3² - 8 - 9 = 0
(2m + 3)² - 17 = 0
(2m + 3)² = 17
2m + 3 = √17 hoặc 2m + 3 = -√17
*) 2m + 3 = √17
2m = -3 + √17
m = (-3 + √17)/2
*) 2m + 3 = -√17
2m = -3 - √17
m = (-3 - √17)/2
Vậy m = (-3 - √17)/2; m = (-3 + √17)/2 thì phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài
a)
\(\Delta=\left(m-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m\right)=m^2-2m+1+4m=m^2+2m+1=\left(m+1\right)^2\ge0\forall m\)
\(\Rightarrow\) PT(I) luôn có nghiệm với mọi m
b)
Theo Vi-ét ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1-m\\x_1\cdot x_2=-m\end{matrix}\right.\)
Theo đề bài ta có: \(x_1^2+x_2^2-x_1x_2=3\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-x_1x_2=3\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=3\)
\(\Leftrightarrow\left(1-m\right)^2-3\cdot\left(-m\right)=3\)
\(\Leftrightarrow1-2m+m^2+3m=3\)
\(\Leftrightarrow m^2+m+1=3\)
\(\Leftrightarrow m^2+m-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-2\end{matrix}\right.\)
