Lời giải:
1.
Để $(d)$ đi qua $A(-1,3)$ thì:
$y_A=2x_A-m+1$
$\Leftrightarrow 3=2(-1)-m+1$
$\Leftrightarrow 3=-1-m\Leftrightarrow m=-4$
2.
PT hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$:
$\frac{1}{2}x^2-2x+m-1=0$
$\Leftrightarrow x^2-4x+2m-2=0(*)$
Để $(d), (P)$ cắt nhau tại 2 điểm pb có hoành độ $x_1,x_2$ thì PT $(*)$ có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$
Điều này xảy ra khi $\Delta'=4-(2m-2)>0$
$\Leftrightarrow 6-2m>0\Leftrightarrow m< 3$
Áp dụng định lý Viet:
$x_1+x_2=4$
$x_1x_2=2m-2$
Khi đó:
$x_1x_2(y_1+y_2)+48=0$
$\Leftrightarrow x_1x_2(2x_1-m+1+2x_2-m+1)+48=0$
$\Leftrightarrow x_1x_2[2(x_1+x_2)-2m+2)+48=0$
$\Leftrightarrow (2m-2)(2.4-2m+2)+48=0$
$\Leftrightarrow (2m-2)(10-2m)+48=0$
$\Leftrightarrow (m-1)(5-m)+12=0$
$\Leftrightarrow 5m-m^2-5+m+12=0$
$\Leftrightarrow 6m-m^2+7=0$
$\Leftrightarrow m^2-6m-7=0$
$\Leftrightarrow (m+1)(m-7)=0\Rightarrow m=-1$ hoặc $m=7$
Vì $m< 3$ nên $m=-1$
1: Thay x=-1 và y=3 vào (d), ta được:
\(2\cdot\left(-1\right)-m+1=3\)
=>-m-2+1=3
=>-m-1=3
=>-m=4
=>m=-4
2: Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(\dfrac{1}{2}x^2=2x-m+1\)
=>\(\dfrac{1}{2}x^2-2x+m-1=0\)
\(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(m-1\right)=4-2\left(m-1\right)\)
=4-2m+2
=-2m+6
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0
=>-2m+6>0
=>-2m>-6
=>m<3
Theo Vi-et, ta có;
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2:\dfrac{1}{2}=4\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2\left(m-1\right)\end{matrix}\right.\)
\(x_1x_2\left(y_1+y_2\right)+48=0\)
=>\(\left(2m-2\right)\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(x_1^2+x_2^2\right)+48=0\)
=>\(\left(m-1\right)\cdot\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]+48=0\)
=>\(\left(m-1\right)\left[4^2-4\left(m-1\right)\right]+48=0\)
=>\(\left(m-1\right)\left(16-4m+4\right)+48=0\)
=>\(\left(m-1\right)\cdot\left(-4m+20\right)=-48\)
=>\(-4\left(m-1\right)\left(m-5\right)=-48\)
=>(m-1)(m-5)=12
=>\(m^2-6m-7=0\)
=>(m-7)(m+1)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}m=7\left(loại\right)\\m=-1\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
