Toán

a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét tứ giác ICBH có \(\widehat{ICB}+\widehat{IHB}=90^0+90^0=180^0\)

nên ICBH là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính IB

Tâm là trung điểm của IB

Bán kính là \(\dfrac{IB}{2}\)

b: Xét (O) có

\(\widehat{ACD}\) là góc nội tiếp chắn cung AD

\(\widehat{ABD}\) là góc nội tiếp chắn cung AD

Do đó: \(\widehat{ACD}=\widehat{ABD}\)

mà \(\widehat{ABD}=\widehat{ICH}\)(ICBH là tứ giác nội tiếp)

nên \(\widehat{ACD}=\widehat{ICH}=\widehat{ACH}\)

=>CA là phân giác của góc HCD

a: Xét (I) có

ΔHDB nội tiếp

HB là đường kính

Do đó: ΔHDB vuông tại D

=>HD\(\perp\)AB tại D

Xét (K) có

ΔCEH nội tiếp

CH là đường kính

Do đó: ΔCEH vuông tại E

=>HE\(\perp\)AC

Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

b: ta có: ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{ADE}=\widehat{AHE}\)

mà \(\widehat{AHE}=\widehat{C}\left(=90^0-\widehat{CAH}\right)\)

nên \(\widehat{ADE}=\widehat{C}\)

mà \(\widehat{ADE}+\widehat{EDB}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{EDB}+\widehat{ECB}=180^0\)

=>EDBC là tứ giác nội tiếp

c:

Ta có: ADHE là hình chữ nhật

=>\(\widehat{EDH}=\widehat{EAH};\widehat{DEH}=\widehat{DAH}\)

Ta có: HD\(\perp\)AB

AC\(\perp\)AB

Do đó: HD//AC

=>\(\widehat{IHD}=\widehat{C}\)(hai góc đồng vị)

Ta có: HE\(\perp\)AC

AB\(\perp\)AC

Do đó: HE//AB

=>\(\widehat{CHE}=\widehat{B}\)

Ta có: \(\widehat{EDI}=\widehat{EDH}+\widehat{IDH}\)

\(=\widehat{EAH}+\widehat{IHD}\)

\(=\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90^0\)

=>ED\(\perp\)DI

=>ED là tiếp tuyến của (I)

\(\widehat{KED}=\widehat{KEH}+\widehat{DEH}\)

\(=\widehat{KHE}+\widehat{DAH}\)

\(=\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^0\)

=>KE là tiếp tuyến của (K)

\(0-\dfrac{2}{5}=\dfrac{0}{5}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{-2}{5}\)

Vậy \(\dfrac{-2}{5}\) là phân số thích hợp để thay ?

Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi 1 và vòi 2 lần lượt là x(giờ) và y(giờ)

(ĐK: x>0 và y>0)

Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được: \(\dfrac{1}{x}\)(bể)

Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được: \(\dfrac{1}{y}\left(bể\right)\)

\(2h20p=\dfrac{7}{3}\left(giờ\right)\)

Trong7/3 giờ, vòi 1 chảy được: \(\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{1}{x}\left(bể\right)\)

Trong 7/3 giờ, vòi 2 chảy được: \(\dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{1}{y}\left(bể\right)\)

Trong 7/3 giờ hai vòi chảy được 7/9 bể nên ta có:

\(\dfrac{7}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=\dfrac{7}{9}\)

=>\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{3}\left(1\right)\)

20p=1/3h; 30p=1/2h

Trong 1/3h, vòi 1 chảy được: \(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{x}\left(bể\right)\)

Trong 1/2h, vòi 2 chảy được: \(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{y}\left(bể\right)\)

Theo đề, ta có: \(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{9}\\\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{y}=-\dfrac{1}{72}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=12\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=12\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Vậy: thời gian chảy một mình đầy bể của vòi 1 và vòi 2 lần lượt là 4 giờ và 12 giờ

Lời giải:

Gọi $A'(a,b)$ là điểm đối xứng với $A(1;3)$ qua $(d)$

VTPT $(d)$ là: $(1,1)$

$\Rightarrow VTCP $(d)$ là: $(-1,1)$

$AA'\perp (d)$ tức $\overrightarrow{AA'}$ vuông góc với vecto chỉ phương của $(d)$

$\Rightarrow (a-1, b-3)\perp (-1,1)$

$\Rightarrow -(a-1)+b-3=0$

$\Rightarrow -a+b-2=0(*)$
Mặt khác $A,A'$ đối xứng nhau qua $d$ nên trung điểm $I(\frac{a+1}{2}, \frac{b+3}{2})$ thuộc $(d)$

$\RIghtarrow \frac{a+1}{2}+\frac{b+3}{2}-3=0$

$\Rightarrow a+b=2(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow a=0; b=2$

b.

Gọi điểm đối xứng với $C$ qua $(d)$ là $C'(a,b)$
Vì $C,C'$ đối xứng nhau qua $(d)$ nên $CC'\perp d$

Hay $\overrightarrow{CC'}$ vuông góc với VTCP $(d)$

$\Rightarrow (a+1, b-4)\perp (1,3)$

$\Rightarrow a+1+3(b-4)=0(*)$

Mặt khác:

$C,C'$ đối xứng qua $(d)$

$\Rightarrow$ trung điểm $I(\frac{a-1}{2}, \frac{b+4}{2})$ thuộc $(d)$

$\Rightarrow 3(\frac{a-1}{2}-2)=\frac{b+4}{2}+1$

$\Leftrightarrow 3(a-5)=b+6(**)$

Từ $(*); (**)$ suy ra $a=\frac{37}{5}; b=\frac{6}{5}$

a: \(\overrightarrow{BC}=\left(4;0\right)\)

mà AM\(\perp\)BC

nên AM nhận vecto (4;0) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường thẳng AM là

4(x-2)+0(y-3)=0

=>x-2=0

=>x=2

b:

\(\overrightarrow{BC}=\left(4;0\right)\)

=>VTPT là (0;-4)

Phương trình BC là:

0(x-1)+(-4)(y-5)=0

=>-4(y-5)=0

=>y-5=0

=>y=5

Tọa độ điểm M là giao điểm của AM với BC

=>Tọa độ M là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=5\end{matrix}\right.\)

Vậy: M(2;5)

thay số liệu là đc