1) Giải phương trình
\(x^2\)\(+2x+1=\left(x+2\right)\sqrt{x^2+1}\)
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\sqrt{x^2-2x+13}+4\sqrt{x-3}\)
1) Giải phương trình
\(x^2\)\(+2x+1=\left(x+2\right)\sqrt{x^2+1}\)
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\sqrt{x^2-2x+13}+4\sqrt{x-3}\)
1) \(x^2+2x+1=\left(x+2\right)\sqrt[]{x^2+1}\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+2x+1=x\sqrt[]{x^2+1}+2\sqrt[]{x^2+1}\left(x\ge-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+1\right)^2=\left(x\sqrt[]{x^2+1}+2\sqrt[]{x^2+1}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^4+4x^2+1+4x^3+2x^2+4x=x^2\left(x^2+1\right)+4\left(x^2+1\right)+4x\left(x^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^4+4x^3+6x^2+4x+1=x^4+x^2+4x^2+4+4x^3+4\)
\(\Leftrightarrow x^4+4x^3+6x^2+4x+1=x^4+4x^3+5x^2+4x+4\)
\(\Leftrightarrow x^2=3\)
\(\Leftrightarrow x=\pm\sqrt[]{3}\left(Tm.x\ge-2\right)\)
Vậy nghiệm của phương trình \(\left(1\right)\) là \(x=\pm\sqrt[]{3}\)
2) \(P=\sqrt[]{x^2-2x+13}+4\sqrt[]{x-3}\)
Ta có :
\(\sqrt[]{x^2-2x+13}=\sqrt[]{x^2-2x+1+12}=\sqrt[]{\left(x-1\right)^2+12}\ge\sqrt[]{12}=2\sqrt[]{3},\forall x\in R\)
\(4\sqrt[]{x-3}\ge0,\forall x\ge3\)
\(\Rightarrow P=\sqrt[]{x^2-2x+13}+4\sqrt[]{x-3}\ge\sqrt[]{4+12}+0=4\left(khi.x=3\right),\forall x\ge3\)
Vậy \(Min\left(P\right)=4\left(tại.x=3\right)\)
Từ M nằm ngoài đường tròn (O;R) kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn ( O;R ) , ( P và Q là các tiếp điểm ). Kẻ đường kính POA . Tiếp tuyến tại A với đường tròn (O;R) cắt PQ tại B . a) CM M,P,O,Q cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OM . b) Gọi K là trung điểm của MO , tia PK cắt AQ tại I . CM PQ.PB=4R^2 và góc QBO = góc QAM
a: Xét tứ giác OPMQ có
\(\widehat{OPM}+\widehat{OQM}=90^0+90^0=180^0\)
=>OPMQ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM
=>M,P,O,Q cùng nằm trên đường tròn đường kính OM
b: Xét (O) có
ΔPQA nội tiếp
PA là đường kính
Do đó: ΔPQA vuông tại Q
=>AQ\(\perp\)QP tại Q
=>AQ\(\perp\)PB tại Q
Xét ΔAPB vuông tại A có AQ là đường cao
nên \(PQ\cdot PB=PA^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)
a: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>=0\\x\notin\left\{4;9\right\}\end{matrix}\right.\)
\(P=\left(1-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}:\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\right)\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}:\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{x-9-x+4+\sqrt{x}+2}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}-3}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\)
g: P<0
=>\(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}< 0\)
=>\(\sqrt{x}-2< 0\)
=>\(\sqrt{x}< 2\)
=>0<=x<4
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: 0<=x<4
h: \(P=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}+1-3}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\)
\(\sqrt{x}>=0\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
=>\(\sqrt{x}+1>=1\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
=>\(\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}< =\dfrac{3}{1}=3\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
=>\(-\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}>=-3\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
=>\(-\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}+1>=-2\forall x\)thỏa mãn ĐKXĐ
=>\(P>=-2\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
Dấu '=' xảy ra khi x=0
Vậy: \(P_{min}=-2\) khi x=0
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Gọi M là trung điểm BC. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MD=MA
a) C/m ABDC là hình chữ nhật
b) Kẻ AH vuông góc BC tại H, kẻ DK vuông góc BC tại K. C/m AHDK là hình bình hành
giúp e câu b với ạ
a: Xét tứ giác ABDC có
M là trung điểm chung của AD và BC
=>ABDC là hình bình hành
Hình bình hành ABDC có \(\widehat{BAC}=90^0\)
nên ABDC là hình chữ nhật
b: Xét ΔMHA vuông tại H và ΔMKD vuông tại K có
MA=MD
\(\widehat{HMA}=\widehat{KMD}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔMHA=ΔMKD
=>MH=MK
=>M là trung điểm của HK
Xét tứ giác AHDK có
M là trung điểm chung của AD và HK
=>AHDK là hình bình hành
Rút gọn biểu thức: cos2a.cos a+sin2a.sin a
Lời giải:
Theo công thức lượng giác thì:
$\cos 2a\cos a+\sin 2a\sin a=\cos (2a-a)=\cos a$
Lời giải:
a. Khi $m=2$ thì hệ trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} y+1=2x+2\\ y-3-5x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=2x+1\\ y-3-5x=0\end{matrix}\right.\)
$\Rightarrow (2x+1)-3-5x=0$
$\Leftrightarrow -3x-2=0\Leftrightarrow x=\frac{-2}{3}$
$y=2x+1=2.\frac{-2}{3}+1=\frac{-1}{3}$
e.
Từ PT(1) $\Rightarrow y=2x+m-1$
Thay vào PT(2) thì:
$2x+m-1-3-(m+3)x=0$
$\Leftrightarrow (m+1)x=m-4(*)$
Để hệ đã cho có nghiệm duy nhất thì $(*)$ cũng phải có nghiệm $x$ duy nhất
Điều này xảy ra khi $m+1\neq 0\Leftrightarrow m\neq -1$
f.
Để hệ đã cho vô nghiệm thì \(\left\{\begin{matrix} m+1=0\\ m-4\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-1\)
Cho tam giác ABC có M (4;0), N(5;2), P(2;3) lần lượt là trung điểm AB, AC, BC
a) tìm tọa độ các điểm A, B, C
b) tính đọ dài đoạn thẳng AP
c) tìm các điểm đối xứng với A qua Ox, Oy
d) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
e) Tìm điểm E thuộc Ox sao cho E, N, P thẳng hàng
giúp em với ạ ❤️
a: M(4;0) là trung điểm của AB
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=2\cdot4=8\\y_A+y_B=2\cdot0=0\end{matrix}\right.\)
N(5;2) là trung điểm của AC
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_C=2\cdot5=10\\y_A+y_C=2\cdot2=4\end{matrix}\right.\)
P(2;3) là trung điểm của BC
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_B+x_C=2\cdot2=4\\y_B+y_C=2\cdot3=6\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=8\\x_A+x_C=10\\x_B+x_C=4\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_B-x_C=8-10=-2\\x_B+x_C=4\\x_A+x_C=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_B=-2+4=2\\x_B+x_C=4\\x_A+x_C=10\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_B=\dfrac{2}{2}=1\\x_C=4-1=3\\x_A=10-3=7\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}y_A+y_B=0\\y_A+y_C=4\\y_B+y_C=6\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y_B-y_C=-4\\y_B+y_C=6\\y_A+y_B=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y_B=2\\y_B+y_C=6\\y_A=-y_B\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}y_B=1\\y_C=6-1=5\\y_A=-1\end{matrix}\right.\)
Vậy: A(7;-1);B(1;1); C(3;5)
b: A(7;-1); P(2;3)
\(AP=\sqrt{\left(2-7\right)^2+\left(3+1\right)^2}=\sqrt{\left(-5\right)^2+4^2}=\sqrt{41}\)
c: A(7;-1)
Tọa độ điểm đối xứng với A qua trục Ox là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=x_A=7\\y=-y_A=1\end{matrix}\right.\)
Tọa độ điểm đối xứng với A qua trục Oy là:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=-x_A=-7\\y=y_A=-1\end{matrix}\right.\)
e: E thuộc Ox nên E(x;0)
N(5;2);P(2;3); E(x;0)
\(\overrightarrow{NP}=\left(-3;1\right);\overrightarrow{NE}=\left(x-5;-2\right)\)
Để N,P,E thẳng hàng thì \(\dfrac{x-5}{-3}=\dfrac{-2}{1}\)
=>x-5=6
=>x=11
Vậy: E(11;0)
\(\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}\right)\cdot x=\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{3}{7}+...+\dfrac{8}{2}+\dfrac{9}{1}\)
=>\(x\cdot\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}\right)=\left(\dfrac{1}{9}+1\right)+\left(\dfrac{2}{8}+1\right)+...+\left(\dfrac{8}{2}+1\right)+1\)
=>\(x\cdot\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}\right)=\dfrac{10}{9}+\dfrac{10}{8}+...+\dfrac{10}{2}+\dfrac{10}{10}\)
=>\(x\cdot\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}\right)=10\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{10}\right)\)
=>x=10
tìm m để đồ thị hàm số y= 2x +m+5 (m là tham số ) cắt trục tung tại điểm A, cắt trục hoành tại điểm B sao cho AB bằng căn 5.. cíuuu
Lời giải:
$A$ thuộc trục tung nên $x_A=0$
$y_A=2x_A+m+5=2.0+m+5=m+5$. Vậy $A(0,m+5)$
$B$ thuộc trục hoành nên $y_B=0$
$0=y_B=2x_B+m+5$
$\Rightarrow x_B=\frac{-m-5}{2}$
Vậy $B(\frac{-m-5}{2},0)$
\(AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}=\sqrt{5}\)
$\Leftrightarrow (x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2=5$
$\Leftrightarrow (0-\frac{-m-5}{2})^2+(m+5-0)^2=5$
$\Leftrightarrow \frac{(m+5)^2}{4}+(m+5)^2=5$
$\Leftrightarrow (m+5)^2=4\Leftrightarrow m+5=\pm 2$
$\Rightarrow m=-3$ hoặc $m=-7$
Rút gọn biểu thức sau rồi tính giá trị biểu thức
H = (x - 1)³ - (x + 2) (x² - 2x + 4) + 3(x + 4) (x - 4) tại x = 1/-2
Lời giải:
$H=(x^3-3x^2+3x-1)-(x^3+8)+3(x^2-16)$
$=x^3-3x^2+3x-1-x^3-8+3x^2-48$
$=(x^3-x^3)+(-3x^2+3x^2)+3x+(-1-8-48)$
$=3x-57=3.\frac{-1}{2}-57=\frac{-117}{2}$