Chào

\(A=\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}\)
\(=\frac{a^3}{abc}+\frac{b^3}{abc}+\frac{c^3}{abc}=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\)
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3\)
\(=a^3+b^3+\left\lbrack-\left(a+b\right)\right\rbrack^3\) \(\)
\(=a^3+b^3-\left\lbrack a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\right\rbrack\)
\(=a^3+b^3-\left(a^3+b^3\right)-3ab\left(a+b\right)\)
\(=-3ab\left(a+b\right)\)
\(=-3ab\left(-c\right)\)
\(=3abc\)
Thay \(a^3+b^3+c^3\) vào A, ta có:
\(A=\frac{3abc}{abc}=3\)

\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)^2\)
\(3a^2+3b^2+3c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)
\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)
\(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)
mà \(\left(a-b\right)^2,\left(a-c\right)^2,\left(b-c\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
\(\Rightarrow\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\ \left(a-c\right)^2=0\\ \left(b-c\right)^2=0\end{cases}\)
\(\begin{cases}a-b=0\\ a-c=0\\ b-c=0\end{cases}\)
\(\begin{cases}a=b\\ a=c\\ b=c\end{cases}\)
\(a=b=c\left(dpcm\right)\)

a: ΔABC cân tại A

mà AH là đường trung tuyến

nên AH⊥BC tại H và AH là phân giác của góc BAC

H là trung điểm của BC

=>\(HB=HC=\frac{BC}{2}=3,5\left(\operatorname{cm}\right)\)

ΔAHC vuông tại H

=>\(AH^2+HC^2=AC^2\)

=>\(AH^2=4^2-3,5^2=0,5\cdot7,5=3,75=\frac{15}{4}\)

=>\(AH=\frac{\sqrt{15}}{2}\) (cm)

b: Xét tứ giác ADCH có

I là trung điểm chung của AC và DH

=>ADCH là hình bình hành

Hình bình hành ADCH có \(\hat{ADC}=90^0\)

nên ADCH là hình chữ nhật

c: Ta có: ADCH là hình chữ nhật

=>AD//CH và AD=CH

AD//CH

=>AD//BH

AD=CH

CH=BH

Do đó: AD=BH

Xét tứ giác ADHB có

AD//HB

AD=HB

Do đó: ADHB là hình bình hành

d: Xét ΔABC có

H,E lần lượt là trung điểm của BC,BA

=>HE là đường trung bình của ΔABC

=>HE//AC và \(HE=\frac{AC}{2}\)

HE//AC
=>HE//AI

\(HE=\frac{AC}{2}\)

\(AI=\frac{AC}{2}\)

Do đó: HE=AI

Xét tứ giác AEHI có

HE//AI

HE=AI

Do đó: AEHI là hìnhbình hành

Hình bình hành AEHI có AH là phân giác của góc EAI

nên AEHI là hình thoi

Số tự nhiên có dạng : \(\overline{ab}\)

Sau khi thêm chữ số 3 vào giữa hai chữ số thì số sẽ có dạng: \(\overline{a3b}\)

Nếu viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại thì số sẽ có dạng: \(\overline{ba}\)

Theo đề bài ta có: \(\overline{a3b}\) \(-\)2 \(\overline{ab}\) = 585 \(\rArr\) 100a + 30 + b - (20a+2b) = 585 \(\rArr\) 80a-b=555 (1)

\(\overline{ab}\) \(-\) \(\overline{ba}\) = 18 \(\rArr\) 10a + b -(10b +a )= 18 \(\rArr\) 9a - 9b = 18 (2)
Từ (1) và (2) ta tính được a =7 và b=5

Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là 75

a) Xét tứ giác AEDF có
\(\hat{BAC}=90^{\circ}\) (ΔABC vuông tại A)
\(\hat{DEA}=90^{\circ}\) (DE vuông góc với AB tại E)
\(\hat{DFA}=90^{\circ}\) (DF vuông góc với AC tại F)
=> Tứ giác AEDF là hình chứ nhật

b) Vì AEDF là hình chữ nhật
nên EA||DE hay BA||DE
\(\Rightarrow\hat{EBD}=\hat{FDC}\) (2 góc đồng vị)
Xét ΔEBD vuông tại E và ΔFDC vuông tại F có:
BD = DC (D là trung điểm BC)
\(\hat{EBD}=\hat{FDC}\) (cmt)
=> ΔEBD = ΔFDC (cạnh huyền - góc nhọn)
=> BE = DF (2 cạnh tương ứng)
mà EA =DF (AEDF là hcn)
=> BE = EA
Xét tứ giác AKBD có 2 đường chéo AB và KD vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
=> AKBD là hình thoi

a: Xét tứ giác AEDF có \(\hat{AED}=\hat{AFD}=\hat{FAE}=90^0\)

nên AEDF là hình chữ nhật

b: AEDF là hình chữ nhật

=>ED//AF

=>ED//AC

Xét ΔABC có

D là trung điểm của BC

DE//AC

Do đó: E là trung điểm của AB

Xét tứ giác ADBK có

E là trung điểm chung của AB và DK

=>ADBK là hình bình hành

Hình bình hành ADBK có AB⊥DK

nên ADBK là hình thoi

a: Ta có: \(BE=EC=\frac{BC}{2}\)

\(AF=FD=\frac{AD}{2}\)

\(BA=CD=\frac{BC}{2}\)

mà BC=AD(ABCD là hình bình hành)

nên BE=EC=AF=FD=BA=CD

Xét tứ giác ECDF có

EC//DF

EC=DF

Do đó: ECDF là hình bình hành

Hình bình hành ECDF có EC=CD

nên ECDF là hình thoi

b: Xét tứ giác BEDF có

BE//DF

BE=DF

Do đó: BEDF là hình bình hành

c: ECDF là hình thoi

=>EF=FD=AD/2

Xét ΔEAD có

EF là đường trung tuyến

\(EF=\frac{AD}{2}\)

Do đó: ΔEAD vuông tại E

=>\(\hat{AED}=90^0\)