$I=\int \sqrt{1-(1-x)^2}$

Đặt $x-1=\sin t$ thì $dx=\cos tdt$. Suy ra

$$I=\int \sqrt{1-\sin^2 t}\cos tdt=\int \cos^2tdt=\int \frac{1+\cos(2t)}{2}dt$$

$$I=\frac{t}{2}+\frac{\sin(2t)}{4}+C$$

Thay $t=\arcsin(x-1)$ ta có nguyên hàm I.

Có cần đặt giá trị tuyệt đối không bạn ??

Hình như. Kết quả sai rồi á

Đặt giá trị tuyệt đối cũng đc. Kết quả hoàn toàn đúng

MH =\(\sqrt{2}a\) => MC = \(2\sqrt{2}a\) và CH = \(\sqrt{6}a\)

=> BC = 2CH = \(2\sqrt{6}a\)

=> AC = BC = \(2\sqrt{6}a\)

Tam giác DBC vuông cân tại D => DH = HB = HC = \(\sqrt{6}a\) => DC = \(\sqrt{12}a\)

Tam giác MDC vuông tại M => MD² = DC² - MC² = 12a² - 8a² = 4a² => MD = 2a

Tam giác MAC vuông tại M => MA² = AC² - MC² = 24a² - 8a² = 16a²  => MA = 4a

Trong mặt phẳng BCD, điểm H cách đều B, C, D => Hình cầu ngoại tiếp ABCD nằm trên đường thẳng đi qua H và vuông góc với mặt phẳng BCD. Đường thẳng này nằm trong mặt phẳng HDA (Vì đường thẳng đó vuông góc với BC nên sẽ nằm trên mặt phẳng HDA).

Đồng thời tâm hình cầu cách đều A và D => Tâm đó nằm trên đường trung trực của AD trong mặt phẳng HDA.

Ta vẽ riêng tam giác HDA ra, kẻ đường HE vuông góc với HD cắt AD tại E. Ta có HM là đường cao tam giác vuông HED nên:

HD² = MD.DE => 6a² = 2a. DE => DE = 3a.

Mà AD = MD + DA = 2a + 4a = 6a => AE = AD - DE = 6a -3a = 3a => Điểm E là điểm giữa của A và D.

Vậy E chính là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, bán kính hình cầu là ED = 3a => Thể tích khối cầu ....

em cũng vẽ vậy nhưng mà tính bán kính hơi khó. không có cách vẽ khác đúng không thầy

em định dựng trục vuông góc (DBC) tại H   ( // AD)

trục vuông góc với (ABC) tại O ( O là tâm)

2 trục cắt nhau là tâm I của mặt cầu đúng không ạ. nhưng tìm điểm cắt nhau hơi khó ạ.

vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với( ABCD) nên SI vuông với (ABCD) ,ke Az song song với SI và chọn gốc tọa độ tại A

Gọi H là chân đường cao từ C

Gọi D là trung điểm của BC \(D \in (d) \) với \((d)\) là đường trung trực của D

Do AB và CH vuông góc với nhau nên AH có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{AB}}=\left(1,1\right)\) mà A(4,-2)

\(\Rightarrow\) Phương trình AB là:

\(x-4+y-(-2)=0 \Leftrightarrow x+y-2=0\)

Do \(B\in AB\) nên \(B(t,2-t)\ t\in \mathbb{R}\)

Do BC vuông góc với (d): 3x+4y-2=0 nên BC có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{BC}}=\left(4,-3\right)\) mà B(t,2-t) thuộc BC

\(\Rightarrow\) Phương trình BC là:

\(4(x-t)-3(y-(2-t))=0 \Leftrightarrow 4x-3y+6-7t=0\)

\(\Rightarrow\) Tọa độ C là nghiệm của hệ:

\(\begin{cases} x-y+2=0\\4x-3y+6-7t=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=7t\\y=7t+2 \end{cases}\)

Do D là trung điểm BC nên tọa độ D là:\(D=(\dfrac{x_B+x_C}{2},\dfrac{y_B+y_C}{2})=(4t,3t+2)\)

Do \(D\in (d):3x+4y-2=0\) nên \(t=\dfrac{-1}{4}\)

\(\Rightarrow\) \(B\left(\dfrac{-1}{4},\dfrac{9}{4}\right),C\left(\dfrac{-7}{4},\dfrac{1}{4}\right)\)

hoành độ giao điểm là nghiệm của pt

\(\frac{-x+m}{x+2}=\frac{1-2x}{2}\) với x khác -2

\(\frac{-x+m}{x+2}=\frac{1-2x}{2}\Leftrightarrow\frac{-2x+2m}{2\left(x+2\right)}=\frac{\left(1-2x\right)\left(x+2\right)}{2\left(x+2\right)}\Leftrightarrow-2x+2m=\left(1-2x\right)\left(x+2\right)\Leftrightarrow-2x+2m=x-2x^2+2-4x\Leftrightarrow2x^2+x+2m-2=0\)

để đt d cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm pt thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt khác -2

làm tương tự như câu dưới......

hoành độ giao điểm là nghiệm của pt

\(\left(x+1\right)\left(1-2x\right)=x+2m\Leftrightarrow-2x^2-x+1=x+2m\Leftrightarrow2x^2+2x+2m-1=0\)(*)

để đồ thị hàm số cắt đt d tại 2 điểm pb A,B thì pt(*) có 2 nghiệm phân biệt

\(\Delta=1-2\left(2m-1\right)=3-4m>0\Leftrightarrow m

\(A\left(\frac{-1+\sqrt{3-4m}}{2};\frac{-1+\sqrt{3-4m}}{2}+2m\right)\)

ta tính \(y'=4x^3-2\left(3m-1\right)x=2x\left(2x^2-3x+1\right)\)

để hàm số có 3 cực trị thì pt y'=0 có 3 nghiệm phân biệt

ta có 

\(y'=0\Leftrightarrow2x\left(2x^2-3m+1\right)=0\Rightarrow x=0;2x^2=3m-1\)

để pt có 3 nghiệm phân biệt thì 3m-1>0  suy ra m>1/3

x=0 ta có y=2m+1 suy ra \(A\left(0;2m+1\right)\) ;\(B\left(\sqrt{\frac{3m-1}{2}};-\frac{\left(3m-1\right)^2}{4}+2m+1\right)\); \(C\left(-\sqrt{\frac{3m-1}{2}};\frac{-\left(3m-1\right)^2}{4}+2m+1\right)\)

ta có \(\vec{AB}\left(\sqrt{\frac{3m-1}{2}};\frac{-\left(3m-1\right)^2}{4}\right)\); \(\vec{AC}=\left(-\sqrt{\frac{3m-1}{2}};-\frac{\left(3m-1\right)^2}{4}\right)\)

suy ra AC=AB suy ra tam giác ABC cân tại A

Gỉa sử A,B,C,D  nội tiếp đường tròn suy ra tâm của đường tròn nằm trên trung tuyến BC

do tam giác ABC cân tại A suy ra trung tuyến BC cũng chính là đường cao của BC

ta có

\(\vec{BC}=\left(2\sqrt{\frac{3m-1}{2}};0\right)\)

phương trình đường cao qua A và vuông góc với BC nhận \(\vec{BC}\)làm vecto pháp tuyến có dạng

\(2\sqrt{\frac{3m-1}{2}}\left(x-0\right)+0\left(y-2m-1\right)=0\Rightarrow x=0\)(d)

Gọi I(0;a)  thuộc (d) là tâm đường tròn mà A,B,C,D nội tiếp 

suy ra ta có hệ pt

\(\begin{cases}IA=IB\\IB=IC\\IC=ID\end{cases}\)

\(y'=1-\frac{3x^2}{\left(x^3\right)^2}=1-\frac{3}{x^4}\)

\(5.5^{x-1}+5^2.5^{x-1}+5^{x-1}=7^2.7^{x-1}+7.7^{x-1}+7^{x-1}\Rightarrow31.5^{x-1}=57.7^{x-1}\Rightarrow\left(\frac{7}{5}\right)^{x-1}=\frac{57}{31}\Rightarrow x-1=\log_{\frac{7}{5}}\frac{57}{31}\)