Question

Trong Oxy cho tam giác ABC có A(4;-2). Phương trình đường cao kẻ từ C và đường trung trực của BC lần lượt là x-y+2=0 và 3x+4y-2=0. Tìm B, C.

Answer 1

Gọi H là chân đường cao từ C

Gọi D là trung điểm của BC \(D \in (d) \) với \((d)\) là đường trung trực của D

Do AB và CH vuông góc với nhau nên AH có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{AB}}=\left(1,1\right)\) mà A(4,-2)

\(\Rightarrow\) Phương trình AB là:

\(x-4+y-(-2)=0 \Leftrightarrow x+y-2=0\)

Do \(B\in AB\) nên \(B(t,2-t)\ t\in \mathbb{R}\)

Do BC vuông góc với (d): 3x+4y-2=0 nên BC có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_{BC}}=\left(4,-3\right)\) mà B(t,2-t) thuộc BC

\(\Rightarrow\) Phương trình BC là:

\(4(x-t)-3(y-(2-t))=0 \Leftrightarrow 4x-3y+6-7t=0\)

\(\Rightarrow\) Tọa độ C là nghiệm của hệ:

\(\begin{cases} x-y+2=0\\4x-3y+6-7t=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=7t\\y=7t+2 \end{cases}\)

Do D là trung điểm BC nên tọa độ D là:\(D=(\dfrac{x_B+x_C}{2},\dfrac{y_B+y_C}{2})=(4t,3t+2)\)

Do \(D\in (d):3x+4y-2=0\) nên \(t=\dfrac{-1}{4}\)

\(\Rightarrow\) \(B\left(\dfrac{-1}{4},\dfrac{9}{4}\right),C\left(\dfrac{-7}{4},\dfrac{1}{4}\right)\)