Bài 5: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Lời giải

Khử trị tuyệt đối

\(\left|\left(y-x-1\right)^2+x-2\right|+4=2x-\left|\left(x-1\right)\left(x-2\right)\right|\)

VT >= 4 =>để có nghiệm VP >=4

=> x>=2

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ge0\\\left(y-x-1\right)^2+\left(x-2\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|\left(y-x-1\right)^2+x\right|=\left(y-x-1\right)^2+\left(x-2\right)\\\left|\left(x-1\right)\left(x-2\right)\right|=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình tương đương hệ

\(\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\left(1\right)\\\left(x-y+1\right)^2+\left(x-2\right)+4=2x-\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)^2=\left(x-2\right)-\left(x-1\right)\left(x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)^2=\left(x-2\right)\left[1-\left(x-1\right)\right]=-\left(x-2\right)^2\)

\(\left\{{}\begin{matrix}VT\ge0\\VP\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)=0\\x-y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\end{matrix}\right.\)

Kết luận

(x,y) =(2,3) là nghiệm duy nhất

424)

C1: \(a+b=1\Rightarrow\left(a+b\right)^2=1\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=1\)

\(A=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^2-ab+b^2\)

\(A=\left(a+b\right)^2-3ab=1-3ab\)

\(1-3ab\ge1-\dfrac{3\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(1-3ab\ge1-\dfrac{3}{4}\)

\(1-3ab\ge\dfrac{1}{4}\)

Min_A = 1/4 khi a=b=1/2

C2:

Áp dụng BĐT BCS, ta có:

\(\left(a+b\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(1\le2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\dfrac{1}{2}\le a^2+b^2\)

\(\dfrac{1}{4}\le\left(a^2+b^2\right)^2\)

\(\dfrac{1}{4}\le\left(a^2+b^2\right)^2\left(a\sqrt{a}.\sqrt{a}+b\sqrt{b}.\sqrt{b}\right)^2\le\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)=a^3+b^3\)

Min là 1/4 khi a=b=1/2

424:

ta có : \(a+b=1\Rightarrow a=1-b\)

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)

hay \(a^3+b^3=a^2-ab+b^2\)

thay \(a=1-b\) vào biểu thức \(a^2-ab+b^2\), ta được:

\(\left(1-b\right)^2-\left(1-b\right)b+b^2\)

\(=1-2b+b^2-b+b^2+b^2=3b^2-3b+1\)

\(=3\left(b+\dfrac{-3}{2.3}\right)^2+\dfrac{4.3.1-\left(-3\right)^2}{4.3}\ge\dfrac{4.3.1-\left(-3\right)^2}{4.3}=\dfrac{1}{4}=0,25\)

dấu "=" xảy ra khi b=0,5; a=0,5

vậy GTNN của \(a^3+b^3\) là 0,25 tại a=b=0,5

425 :

GTNN là 2

1)\(\left|1-5x\right|\)-1=3

\(\Leftrightarrow\)\(\left|1-5x\right|=4\)

Ta có: \(\left|1-5x\right|\)\(=1-5x\) khi \(1-5x\)\(\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(x\ge0\)

\(\left|1-5x\right|=-\left(1-5x\right)\) khi \(1-5x\)\(< \)\(0\)

+)Với \(x\ge0\) ta có:

\(1-5x=4\)

\(\Leftrightarrow\)\(1-4=5x\)

\(\Leftrightarrow\)\(-3=5x\)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{-3}{5}\)(ko t/m ĐK)

+)Với \(x\)<0 ta có:

-(1-5x)=4

\(\Leftrightarrow\)5x-1=4

\(\Leftrightarrow\)5x=5

\(\Leftrightarrow\)x=1(ko t/m ĐK)

Vậy pt vô nghiệm

3)\(\left|3x-4\right|=x-3\)

Ta có:\(\left|3x-4\right|=3x-4\)khi 3x-4\(\ge\)0\(\Leftrightarrow\)x\(\ge\)0

\(\left|3x-4\right|=-\left(3x-4\right)\) khi 3x-4<0\(\Leftrightarrow\)x<0

+)Với x\(\ge\)0 ta có:

\(\left|3x-4\right|=x-3\)

\(\Leftrightarrow\)3x-4=x-3

\(\Leftrightarrow\)3x-x=4-3

\(\Leftrightarrow\)2x=1

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{1}{2}\)(t/m ĐK)

+) Với x<0 ta có:

\(\left|3x-4\right|=x-3\)

\(\Leftrightarrow\)-(3x-4)=x-3

\(\Leftrightarrow\)4-3x=x-3

\(\Leftrightarrow\)4+3=3x+x

\(\Leftrightarrow\)7=4x

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{7}{4}\)(ko t/m ĐK)
Vậy nghiệm của pt là x=\(\dfrac{1}{2}\)

4)\(\left|2x-3\right|=3-2x\)

Ta có: \(\left|2x-3\right|=2x-3\) khi 2x-3\(\ge\)0\(\Leftrightarrow x\ge0\)

\(\left|2x-3\right|=-\left(2x-3\right)\) khi 2x-3<0\(\Leftrightarrow\)x<0

+)Với x\(\ge\)0 ta có:

\(\left|2x-3\right|=3-2x\)

\(\Leftrightarrow\)2x-3=3-2x

\(\Leftrightarrow\)2x+2x=3+3

\(\Leftrightarrow\)4x=6

\(\Leftrightarrow x=\)\(\dfrac{3}{2}\)(t/m ĐK)
+)Với x<0 ta có:

\(\left|2x-3\right|=3-2x\)

\(\Leftrightarrow\)-(2x-3)=3-2x

\(\Leftrightarrow\)3-2x=3-2x

\(\Leftrightarrow\)3-3=2x-2x

\(\Leftrightarrow\)0=0x(ko t/m ĐK)

Vậy nghiệm của pt là x=\(\dfrac{3}{2}\)

5)\(\left|x-3\right|+3x=7\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left|x-3\right|=7-3x\)

Ta có:\(\left|x-3\right|=x-3\) khi x-3\(\ge\)0\(\Leftrightarrow\)x\(\ge\)0

\(\left|x-3\right|=-\left(x-3\right)\) khi x-3<0\(\Leftrightarrow\)x<0

+)Với x\(\ge\)0 ta có:

\(\left|x-3\right|=7-3x\)

\(\Leftrightarrow\)x-3=7-3x

\(\Leftrightarrow\)x+3x=3+7

\(\Leftrightarrow\)4x=10

\(\Leftrightarrow\)x=\(\dfrac{5}{2}\)(t/m ĐK)

+)Với x<0 ta có:

\(\left|x-3\right|=7-3x\)

\(\Leftrightarrow\)-(x-3)=7-3x

\(\Leftrightarrow\)3-x=7-3x

\(\Leftrightarrow\)3-7=x-3x

\(\Leftrightarrow\)-4=-2x

\(\Leftrightarrow\)x=2(ko t/m ĐK)

Vậy nghiệm của pt là x=\(\dfrac{5}{2}\)

1. \(\left|1-5x\right|-1=3\) (1)

* TH1 : 1-5x \(\ge\) 0 \(\Leftrightarrow\) 5x \(\le\) 1 \(\Leftrightarrow\) x \(\le\) \(\dfrac{1}{5}\)

Phương trình (1) \(\Leftrightarrow\) 1-5x -1 = 3

\(\Leftrightarrow\) -5x = 3

\(\Leftrightarrow\) x = \(\dfrac{-3}{5}\) ( thỏa mãn )

* TH2: 1-5x < 0 \(\Leftrightarrow\) 5x > 1 \(\Leftrightarrow\) x > \(\dfrac{1}{5}\)

Phương trình (1) \(\Leftrightarrow\) 5x -1 -1 = 3

\(\Leftrightarrow\) 5x = 5

\(\Leftrightarrow\) x = 1 ( thỏa mãn )

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = \(\left\{\dfrac{-3}{5},1\right\}\)

3, \(\left|3x-4\right|=x-3\) (3)

* TH1 : 3x-4\(\ge\) 0 \(\Leftrightarrow\) 3x \(\ge\) 4 \(\Leftrightarrow\) x \(\ge\) \(\dfrac{4}{3}\)

Phương trình (3) \(\Leftrightarrow\) 3x-4 = x-3

\(\Leftrightarrow\) 2x = 1

\(\Leftrightarrow\) x = \(\dfrac{1}{2}\)(thỏa mãn )

* TH2 : 3x-4<0 \(\Leftrightarrow\)3x<4 \(\Leftrightarrow\) x < \(\dfrac{4}{3}\)

Phương trình (3) \(\Leftrightarrow\) -3x+4 = x-3

\(\Leftrightarrow\) -4x = -7

\(\Leftrightarrow\) x = \(\dfrac{7}{4}\) (loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S= \(\left\{\dfrac{1}{2}\right\}\)

* Nếu x<0 ta thấy VT của pt đã cho > 0 ; còn VP <0
=> Pt vô nghiệm
* Với x \(\ge0\) ta có:
Pt => \(x+1+x+2+x+3+...+x+2010=2011x\)
\(\Leftrightarrow2010x+\left(1+2+3+...+2010\right)=2011x\)
\(\Leftrightarrow x=1+2+3+...+2010\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2010.2011}{2}\)
\(\Leftrightarrow x=2021055\) (TMĐK)
Vậy x =2021055

(1)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|x^2-1\right|\ge0\\\left|x-1\right|\ge0\end{matrix}\right.\) => để (1) có nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-1=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\)=> x=1

(2)

tương tự \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-1=0\\2x-2=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\) => x=1

1.\(\left|x^2-1\right|+\left|x-1\right|=0\)

\(\Leftrightarrow\left|\left(x-1\right)\left(x+1\right)\right|+\left|x-1\right|=0\)

\(\Leftrightarrow\left|x-1\right|\left(\left|x+1\right|-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left|x-1\right|=0\\\left|x+1\right|=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=1\) (thỏa mãn)

2.\(\left|x^2-1\right|+\left|2x-2\right|+\left(x-1\right)^2=0\)

\(pt\Leftrightarrow\left|\left(x-1\right)\left(x+1\right)\right|+2\left|x-1\right|+\left|x-1\right|^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left|x-1\right|\left(\left|x+1\right|+2+\left|x-1\right|\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left|x-1\right|=0\\\left|x+1\right|+2+\left|x-1\right|=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\left|x+1\right|+2=-\left|x-1\right|\left(\text{*}\right)\end{matrix}\right.\)

Dễ thấy: \(pt\left(\text{*}\right)\) vô nghiệm do \(VT>0;VP\le0\)

3.Dễ thấy: \(VT\ge0\Rightarrow VP\ge0\Rightarrow2x-1\ge0\Rightarrow x\ge\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(pt\Leftrightarrow x-2+3x-3=2x-1\)

\(\Leftrightarrow4x-5=2x-1\)

\(\Leftrightarrow2x=4\Leftrightarrow x=2\) (thỏa mãn)

\(\left|x-2\right|+\left|3x-3\right|=2x-1\)

\(VT=\left|2-x\right|+\left|3x-3\right|\ge\left|2x-1\right|\ge VP\)

Đẳng thức xẩy ra khi

1<=x <=2

Vậy nghiệm của phương trình là (3) mọi x thuộc \(1\le x\le2\)

1 cái đk ko

-Nếu \(x+3\ge0\)hay \(x\ge-3\Rightarrow|x+3|=x+3\)

Khi đó ta có:

F\(=6-3-\left(x+3\right)\)

\(=6-3-x-3\)

\(=-x\)

-Nếu \(x+3< 0\)hay \(x< -3\Rightarrow|x+3|=-\left(x+3\right)\)

Khi đó ta có:

F\(=6-3+\left(x+3\right)\)

\(=6+x\)

•Nếu \(x+3\ge0\Rightarrow x\ge-3\) thì \(\left|x+3\right|=x+3\)

•Nếu \(x+3< 0\Rightarrow x< -3\) thì \(\left|x+3\right|=-x-3\)

Tóm gọn từng phương trình có được dựa vào điều kiện khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối vừa tìm, ta có:

a/ \(6-3-x+3=6-x\) (với \(x\ge3\))

b/ \(6-3-3+x=x\) (với \(x< -3\))

* Khi \(x+3\ge0\Rightarrow x\ge-3\)

\(F=6-3-x-3\)

\(F=-x\)

* Khi \(x+3< 0\Rightarrow x< -3\)

\(F=6-3+x+3\)

\(F=6+x\)

\(\left|x\right|-\left|x-2\right|=2\)

+) Xét \(x\ge2\) ta có:
\(x-x+2=2\)

\(\Rightarrow0=0\) ( loại )

+) Xét \(0\le x< 2\) ta có:

\(x-2+x=2\)

\(\Rightarrow2x=4\)

\(\Rightarrow x=2\)

+) Xét \(x< 0\) ta có:

\(-x-2+x=0\)

\(\Rightarrow-2=0\) ( vô lí )

Vậy x = 2

Ta có:\(\left|x\right|+\left|x+1\right|+\left|x+2\right|+\left|x+3\right|+...+\left|x+9\right|=9x\) (*)

Do \(\left|x\right|+\left|x+1\right|+\left|x+2\right|+\left|x+3\right|+...+\left|x+9\right|\ge0\)

=> \(9x\ge0\)

<=> \(x\ge0\)

=> (*) <=> x+x+1+x+2+x+3+...+x+9=9x

<=> 9x+45=9x

<=> 9x-9x=-45

<=> 0x=-45 ( vô lí)

=> pt vô nghiệm

Vì trước mỗi dấu giá trị tuyệt đối đều dương nên :

x + x+1+x+2+x+3+x+4+x+5+x+6+x+7+x+8+x+9=9x

10x+45=9x

10x-9x=-45

x = -45

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{-45\right\}\)

ta có: vế trái là tổng các giá trị tuyệt đối nên là số không âm, do đó

9x\(\ge0\Leftrightarrow x\ge0\Rightarrow\left(x+1\right)>0,\left(x+2\right)>0,...\left(x+9\right)>0\)

ta có:

min = 1?

\(\dfrac{1}{2}\left|x\right|+\left|x-1\right|\)

\(=\dfrac{1}{2}\left|x\right|+\dfrac{1}{2}\left|1-x\right|+\dfrac{1}{2}\left|x-1\right|\)

\(\ge\dfrac{1}{2}\left|x-x+1\right|+\dfrac{1}{2}\left|x-1\right|\ge\dfrac{1}{2}\)