Bài 5: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

|1-x | +|2x-1|>5

\(\Leftrightarrow\)|1-x+2x-1|>5

\(\Leftrightarrow\)|x|>5

\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x>5\\x>-5\end{matrix}\right.\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là {x/ x>5;x>-5}

ta có:

\(\left|x-1\right|+\left|x+2\right|+\left|x-3\right|=4\) (*)

TH1: x < -2

=> x-1<0 , x+2<0 , x-3< 0

=> (*) <=> -(x-1)-(x+2)-(x-3)=4

<=> x=\(\dfrac{-2}{3}\) ( không thỏa mãn đk)

TH2: \(-2\le x< 1\)

=> x-1<0 , x+2 \(\ge\) 0 , x-3 <0

=> (*) <=> -(x-1)+x+2-(x-3)=4

<=> x = 2 ( không thỏa mãn đk)

TH3: \(1\le x< 3\)

=> x-1\(\ge\)0 , x+2 >0 , x-3<0

=> (*)<=> x-1+x+2-(x-3)=4

<=> x= 0 ( không thỏa mãn đk)

TH4: x\(\ge\) 3

=> x-1 > 0 , x+2>0 , x-3\(\ge\) 0

=> (*) <=> x-1+x+2+x-3=4

<=> x= 2 ( không thỏa mãn đk)

Vậy phương trình trên vô nghiệm

vô nghiệm nhé bạn!!!

\(\left|x\right|-\left|x-2\right|=2\)

+) Xét \(x\ge2\) ta có:
\(x-x+2=2\)

\(\Rightarrow0=0\) ( loại )

+) Xét \(0\le x< 2\) ta có:

\(x-2+x=2\)

\(\Rightarrow2x=4\)

\(\Rightarrow x=2\)

+) Xét \(x< 0\) ta có:

\(-x-2+x=0\)

\(\Rightarrow-2=0\) ( vô lí )

Vậy x = 2

* Nếu x<0 ta thấy VT của pt đã cho > 0 ; còn VP <0
=> Pt vô nghiệm
* Với x \(\ge0\) ta có:
Pt => \(x+1+x+2+x+3+...+x+2010=2011x\)
\(\Leftrightarrow2010x+\left(1+2+3+...+2010\right)=2011x\)
\(\Leftrightarrow x=1+2+3+...+2010\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2010.2011}{2}\)
\(\Leftrightarrow x=2021055\) (TMĐK)
Vậy x =2021055

min = 1?

\(\dfrac{1}{2}\left|x\right|+\left|x-1\right|\)

\(=\dfrac{1}{2}\left|x\right|+\dfrac{1}{2}\left|1-x\right|+\dfrac{1}{2}\left|x-1\right|\)

\(\ge\dfrac{1}{2}\left|x-x+1\right|+\dfrac{1}{2}\left|x-1\right|\ge\dfrac{1}{2}\)

Lời giải

Khử trị tuyệt đối

\(\left|\left(y-x-1\right)^2+x-2\right|+4=2x-\left|\left(x-1\right)\left(x-2\right)\right|\)

VT >= 4 =>để có nghiệm VP >=4

=> x>=2

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ge0\\\left(y-x-1\right)^2+\left(x-2\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|\left(y-x-1\right)^2+x\right|=\left(y-x-1\right)^2+\left(x-2\right)\\\left|\left(x-1\right)\left(x-2\right)\right|=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình tương đương hệ

\(\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\left(1\right)\\\left(x-y+1\right)^2+\left(x-2\right)+4=2x-\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)^2=\left(x-2\right)-\left(x-1\right)\left(x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)^2=\left(x-2\right)\left[1-\left(x-1\right)\right]=-\left(x-2\right)^2\)

\(\left\{{}\begin{matrix}VT\ge0\\VP\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)=0\\x-y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\end{matrix}\right.\)

Kết luận

(x,y) =(2,3) là nghiệm duy nhất

1)\(\left|1-5x\right|\)-1=3

\(\Leftrightarrow\)\(\left|1-5x\right|=4\)

Ta có: \(\left|1-5x\right|\)\(=1-5x\) khi \(1-5x\)\(\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(x\ge0\)

\(\left|1-5x\right|=-\left(1-5x\right)\) khi \(1-5x\)\(< \)\(0\)

+)Với \(x\ge0\) ta có:

\(1-5x=4\)

\(\Leftrightarrow\)\(1-4=5x\)

\(\Leftrightarrow\)\(-3=5x\)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{-3}{5}\)(ko t/m ĐK)

+)Với \(x\)<0 ta có:

-(1-5x)=4

\(\Leftrightarrow\)5x-1=4

\(\Leftrightarrow\)5x=5

\(\Leftrightarrow\)x=1(ko t/m ĐK)

Vậy pt vô nghiệm

3)\(\left|3x-4\right|=x-3\)

Ta có:\(\left|3x-4\right|=3x-4\)khi 3x-4\(\ge\)0\(\Leftrightarrow\)x\(\ge\)0

\(\left|3x-4\right|=-\left(3x-4\right)\) khi 3x-4<0\(\Leftrightarrow\)x<0

+)Với x\(\ge\)0 ta có:

\(\left|3x-4\right|=x-3\)

\(\Leftrightarrow\)3x-4=x-3

\(\Leftrightarrow\)3x-x=4-3

\(\Leftrightarrow\)2x=1

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{1}{2}\)(t/m ĐK)

+) Với x<0 ta có:

\(\left|3x-4\right|=x-3\)

\(\Leftrightarrow\)-(3x-4)=x-3

\(\Leftrightarrow\)4-3x=x-3

\(\Leftrightarrow\)4+3=3x+x

\(\Leftrightarrow\)7=4x

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{7}{4}\)(ko t/m ĐK)
Vậy nghiệm của pt là x=\(\dfrac{1}{2}\)

4)\(\left|2x-3\right|=3-2x\)

Ta có: \(\left|2x-3\right|=2x-3\) khi 2x-3\(\ge\)0\(\Leftrightarrow x\ge0\)

\(\left|2x-3\right|=-\left(2x-3\right)\) khi 2x-3<0\(\Leftrightarrow\)x<0

+)Với x\(\ge\)0 ta có:

\(\left|2x-3\right|=3-2x\)

\(\Leftrightarrow\)2x-3=3-2x

\(\Leftrightarrow\)2x+2x=3+3

\(\Leftrightarrow\)4x=6

\(\Leftrightarrow x=\)\(\dfrac{3}{2}\)(t/m ĐK)
+)Với x<0 ta có:

\(\left|2x-3\right|=3-2x\)

\(\Leftrightarrow\)-(2x-3)=3-2x

\(\Leftrightarrow\)3-2x=3-2x

\(\Leftrightarrow\)3-3=2x-2x

\(\Leftrightarrow\)0=0x(ko t/m ĐK)

Vậy nghiệm của pt là x=\(\dfrac{3}{2}\)

5)\(\left|x-3\right|+3x=7\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left|x-3\right|=7-3x\)

Ta có:\(\left|x-3\right|=x-3\) khi x-3\(\ge\)0\(\Leftrightarrow\)x\(\ge\)0

\(\left|x-3\right|=-\left(x-3\right)\) khi x-3<0\(\Leftrightarrow\)x<0

+)Với x\(\ge\)0 ta có:

\(\left|x-3\right|=7-3x\)

\(\Leftrightarrow\)x-3=7-3x

\(\Leftrightarrow\)x+3x=3+7

\(\Leftrightarrow\)4x=10

\(\Leftrightarrow\)x=\(\dfrac{5}{2}\)(t/m ĐK)

+)Với x<0 ta có:

\(\left|x-3\right|=7-3x\)

\(\Leftrightarrow\)-(x-3)=7-3x

\(\Leftrightarrow\)3-x=7-3x

\(\Leftrightarrow\)3-7=x-3x

\(\Leftrightarrow\)-4=-2x

\(\Leftrightarrow\)x=2(ko t/m ĐK)

Vậy nghiệm của pt là x=\(\dfrac{5}{2}\)

1. \(\left|1-5x\right|-1=3\) (1)

* TH1 : 1-5x \(\ge\) 0 \(\Leftrightarrow\) 5x \(\le\) 1 \(\Leftrightarrow\) x \(\le\) \(\dfrac{1}{5}\)

Phương trình (1) \(\Leftrightarrow\) 1-5x -1 = 3

\(\Leftrightarrow\) -5x = 3

\(\Leftrightarrow\) x = \(\dfrac{-3}{5}\) ( thỏa mãn )

* TH2: 1-5x < 0 \(\Leftrightarrow\) 5x > 1 \(\Leftrightarrow\) x > \(\dfrac{1}{5}\)

Phương trình (1) \(\Leftrightarrow\) 5x -1 -1 = 3

\(\Leftrightarrow\) 5x = 5

\(\Leftrightarrow\) x = 1 ( thỏa mãn )

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = \(\left\{\dfrac{-3}{5},1\right\}\)

3, \(\left|3x-4\right|=x-3\) (3)

* TH1 : 3x-4\(\ge\) 0 \(\Leftrightarrow\) 3x \(\ge\) 4 \(\Leftrightarrow\) x \(\ge\) \(\dfrac{4}{3}\)

Phương trình (3) \(\Leftrightarrow\) 3x-4 = x-3

\(\Leftrightarrow\) 2x = 1

\(\Leftrightarrow\) x = \(\dfrac{1}{2}\)(thỏa mãn )

* TH2 : 3x-4<0 \(\Leftrightarrow\)3x<4 \(\Leftrightarrow\) x < \(\dfrac{4}{3}\)

Phương trình (3) \(\Leftrightarrow\) -3x+4 = x-3

\(\Leftrightarrow\) -4x = -7

\(\Leftrightarrow\) x = \(\dfrac{7}{4}\) (loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S= \(\left\{\dfrac{1}{2}\right\}\)

-Nếu \(x+3\ge0\)hay \(x\ge-3\Rightarrow|x+3|=x+3\)

Khi đó ta có:

F\(=6-3-\left(x+3\right)\)

\(=6-3-x-3\)

\(=-x\)

-Nếu \(x+3< 0\)hay \(x< -3\Rightarrow|x+3|=-\left(x+3\right)\)

Khi đó ta có:

F\(=6-3+\left(x+3\right)\)

\(=6+x\)

•Nếu \(x+3\ge0\Rightarrow x\ge-3\) thì \(\left|x+3\right|=x+3\)

•Nếu \(x+3< 0\Rightarrow x< -3\) thì \(\left|x+3\right|=-x-3\)

Tóm gọn từng phương trình có được dựa vào điều kiện khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối vừa tìm, ta có:

a/ \(6-3-x+3=6-x\) (với \(x\ge3\))

b/ \(6-3-3+x=x\) (với \(x< -3\))

* Khi \(x+3\ge0\Rightarrow x\ge-3\)

\(F=6-3-x-3\)

\(F=-x\)

* Khi \(x+3< 0\Rightarrow x< -3\)

\(F=6-3+x+3\)

\(F=6+x\)

Bài 35. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:

a) A = 3x + 2 + |5x| trong hai trường hợp: x ≥ 0 và x < 0;

b) B = |4x| -2x + 12 trong hai trường hợp: x ≤ 0 và x > 0;

c) C = |x - 4| - 2x + 12 khi x > 5;

d) D = 3x + 2 + |x + 5|

Hướng dẫn giải:

a) A = 3x + 2 + |5x|

=> A = 3x + 2 + 5x khi x ≥ 0

A = 3x + 2 - 5x khi x < 0

Vậy A = 8x + 2 khi x ≥ 0

A = -2x + 2 khi x < 0

b) B = 4x - 2x + 12 khi x ≥ 0

B = -4x -2x + 12 khi x < 0

Vậy B = 2x + 12 khi x ≥ 0

B = -6x khi x < 0

c) Với x > 5 => x - 4 > 1 hay x - 4 dương nên

C = x - 4 - 2x + 12 = -x + 8

Vậy với x > 5 thì C = -x + 8

d) D= 3x + 2 + x+ 5 khi x + 5 ≥ 0

D = 3x + 2 - (x + 5) khi x + 5 < 0

Vậy D = 4x + 7 khi x ≥ -5

D = 2x - 3 khi x < -5

a)với x>=0 <=> 5x>=0

=> |5x|= 5x

A= 3x + 2 + 5x = 8x+2

với x<0 <=> 5x <0

=> |5x|= - 5x

A= 3x + 2 - 5x= 2 - 2x

b) với x<=0 <=> -4x>=0

=> |-4x|= -4x

B= -4x - 2x +12= -6x +12

với x>0 <=> -4x<0

=> |-4x| = -(-4x)= 4x

B= 4x-2x+12= 2x+12

c) với x>5 <=> x - 4 > 1 (hay x-4 là số dương)

=> |x-4|= x-4

C= x - 4 - 2x+12 = -x + 8

d) với |x+5|= x+5 khi x+5 >=0 <=> x>= -5

với |x+5| = -(x+5)= -x -5 khi x+5 <0 <=> x< -5

*với x >= -5

D= 3x + 2 + x+5= 4x+7

*với x< -5

D= 3x + 2 -x -5 = 2x -3

a, Khi x>0 thì |5x| = 5x .Vậy A=3x+2+5x = 8x+2

Khi x<0 thì |5x|= -5x .Vậy A= 3x+2-5x =2-2x

b, Khi x<0 thì -4x >0 .Do đó |-4x|=-4x

Vậy B = -4x-2x+12=-6x+12

Khi x>0 thì -4x<0.Do đó |-4x|=4x

Vậy B= 4x-2x+12=2x-12