Bài 5: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Lần này chơi kiêu nâng cấp lên nhé

Đẳng cấp phải nâng dần lên

\(\left|3x-1\right|=\left|1-3x\right|\ge1-3x=VP\) đẳng thức khi x<=1/3

\(\Rightarrow\) nghiệm với mọi x <=1/3

Ta có: \(\left|3x-1\right|=1-3x\)

mà \(\left|3x-1\right|\ge0\) với mọi x

=> \(1-3x\ge0\)

<=> \(-3x\ge-1\)

<=> \(x\le\dfrac{1}{3}\)

Vậy \(\left\{x|x\le\dfrac{1}{3}\right\}\)

Kiểu khác nhẹ nhàng hơn

VT>0 với mọi x

nếu x>1/3 => 1-3x <0 => vô nghiệm

xét khi x <=1/3

<=> 1-3x=1-3x <=> 1=1 =>pt đúng với mọi x <=1/3

Kết luận

phương trình có nghệm x thuôc (-vc; 1/3]

a) 5x - 2 = 3x + 10

<=> 5x - 3x = 10 + 2

<=> 2x = 12

<=> x = 6

Vậy phương trình có tập nghiệmS={6}

b) \(\left|x\right|\)+2 = 5

<=> \(\left|x\right|\)= 5 - 2

<=> \(\left|x\right|\)= 3

=> x = 3 hoặc x = -3

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {3 ; - 3}

a.5x-2=3x+10

<=> 5x-3x=10+2

<=> 2x=12

<=> x=6

b. |x|+2=5 (b)

Khi x>=0=> |x|=x

(b)=> x+2=5 <=> x=3 (nhận)

Khi x <0=>|x|=-x

(b )=>-x+2=5<=>-x=3 <=> x=-3 (nhận)

c. 3x-5 <4x-9

<=> 3x-4x <-9+5

<=>-x <-4

<=> x > 4

a)

5x - 2 = 3x + 10

<=> 5x - 3x = 10+2

<=> 2x = 12

<=> \(\dfrac{2x}{2}=\dfrac{12}{2}\)

<=> x= 6

vậy phương trình có nghiệm x=6

b)|x|+2 =5

* |x| = x khi x>=0

với điều kiện x>=0 ta có phương trình:

x + 2 =5

<=> x= 5-2

<=> x= 3 (thỏa mãn điều kiện x>=0)

*|x|= -x khi x<0

với điều kiện x<0 ta có phương trình:

-x + 2 =5

<=> -x = 5-2

<=> -x =3

<=> x= -3 (thỏa mãn điề kiện x<0)

vậy phương trình có tập nghiệm S={-3;3}

c)

3x -5 < 4x -9

<=> 3x -4x < -9 + 5

<=> -x < -4

<=> x>4

vậy tập nghiệm của bất phương trình là {x|x>4}

1 cái đk ko

|3x| =3x khi 3x>=0 suy ra x>=0

Nếu x>=0 thì pt trở thành

3x=x+8

|3x| =-3x khi 3x<0 suy ra x<0

Nếu x<0 thì pt trở thành

-3x=x+8

<=>-3x-x=8

<=>-4x=8

<=>x=-2

pt1 mình quên giải 3x=x+8

<=> 3x-x=8

<=>2x=8

<=>x=4

|3x|=x+8

TH1: \(3x\ge0\) \(\Leftrightarrow x\ge0\) \(\Leftrightarrow\) |3x|=3x

Khi đó phương trình có dạng :

\(\Leftrightarrow\)3x=x+8

\(\Leftrightarrow\)3x -x =8 \(\Leftrightarrow2x=8\) \(\Leftrightarrow x=4\) ( thỏa mãn điều kiện của x)

Th2 3x<0\(\Leftrightarrow x< 0\) \(\Leftrightarrow\left|3x\right|=-3x\)

Khi đó phương trình có dạng :

\(\Leftrightarrow\)-3x =x+8

\(\Leftrightarrow-3x-x=8\)

\(\Leftrightarrow-4x=8\)

\(\Leftrightarrow x=-2\)(thỏa mãn giá trị của x)

Tick cho mk nha

ta có:

\(\left|x-1\right|+\left|x+2\right|+\left|x-3\right|=4\) (*)

TH1: x < -2

=> x-1<0 , x+2<0 , x-3< 0

=> (*) <=> -(x-1)-(x+2)-(x-3)=4

<=> x=\(\dfrac{-2}{3}\) ( không thỏa mãn đk)

TH2: \(-2\le x< 1\)

=> x-1<0 , x+2 \(\ge\) 0 , x-3 <0

=> (*) <=> -(x-1)+x+2-(x-3)=4

<=> x = 2 ( không thỏa mãn đk)

TH3: \(1\le x< 3\)

=> x-1\(\ge\)0 , x+2 >0 , x-3<0

=> (*)<=> x-1+x+2-(x-3)=4

<=> x= 0 ( không thỏa mãn đk)

TH4: x\(\ge\) 3

=> x-1 > 0 , x+2>0 , x-3\(\ge\) 0

=> (*) <=> x-1+x+2+x-3=4

<=> x= 2 ( không thỏa mãn đk)

Vậy phương trình trên vô nghiệm

vô nghiệm nhé bạn!!!

Lời giải

Khử trị tuyệt đối

\(\left|\left(y-x-1\right)^2+x-2\right|+4=2x-\left|\left(x-1\right)\left(x-2\right)\right|\)

VT >= 4 =>để có nghiệm VP >=4

=> x>=2

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ge0\\\left(y-x-1\right)^2+\left(x-2\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|\left(y-x-1\right)^2+x\right|=\left(y-x-1\right)^2+\left(x-2\right)\\\left|\left(x-1\right)\left(x-2\right)\right|=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình tương đương hệ

\(\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\left(1\right)\\\left(x-y+1\right)^2+\left(x-2\right)+4=2x-\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)^2=\left(x-2\right)-\left(x-1\right)\left(x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)^2=\left(x-2\right)\left[1-\left(x-1\right)\right]=-\left(x-2\right)^2\)

\(\left\{{}\begin{matrix}VT\ge0\\VP\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)=0\\x-y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\end{matrix}\right.\)

Kết luận

(x,y) =(2,3) là nghiệm duy nhất

1)\(\left|1-5x\right|\)-1=3

\(\Leftrightarrow\)\(\left|1-5x\right|=4\)

Ta có: \(\left|1-5x\right|\)\(=1-5x\) khi \(1-5x\)\(\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(x\ge0\)

\(\left|1-5x\right|=-\left(1-5x\right)\) khi \(1-5x\)\(< \)\(0\)

+)Với \(x\ge0\) ta có:

\(1-5x=4\)

\(\Leftrightarrow\)\(1-4=5x\)

\(\Leftrightarrow\)\(-3=5x\)

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{-3}{5}\)(ko t/m ĐK)

+)Với \(x\)<0 ta có:

-(1-5x)=4

\(\Leftrightarrow\)5x-1=4

\(\Leftrightarrow\)5x=5

\(\Leftrightarrow\)x=1(ko t/m ĐK)

Vậy pt vô nghiệm

3)\(\left|3x-4\right|=x-3\)

Ta có:\(\left|3x-4\right|=3x-4\)khi 3x-4\(\ge\)0\(\Leftrightarrow\)x\(\ge\)0

\(\left|3x-4\right|=-\left(3x-4\right)\) khi 3x-4<0\(\Leftrightarrow\)x<0

+)Với x\(\ge\)0 ta có:

\(\left|3x-4\right|=x-3\)

\(\Leftrightarrow\)3x-4=x-3

\(\Leftrightarrow\)3x-x=4-3

\(\Leftrightarrow\)2x=1

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{1}{2}\)(t/m ĐK)

+) Với x<0 ta có:

\(\left|3x-4\right|=x-3\)

\(\Leftrightarrow\)-(3x-4)=x-3

\(\Leftrightarrow\)4-3x=x-3

\(\Leftrightarrow\)4+3=3x+x

\(\Leftrightarrow\)7=4x

\(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{7}{4}\)(ko t/m ĐK)
Vậy nghiệm của pt là x=\(\dfrac{1}{2}\)

4)\(\left|2x-3\right|=3-2x\)

Ta có: \(\left|2x-3\right|=2x-3\) khi 2x-3\(\ge\)0\(\Leftrightarrow x\ge0\)

\(\left|2x-3\right|=-\left(2x-3\right)\) khi 2x-3<0\(\Leftrightarrow\)x<0

+)Với x\(\ge\)0 ta có:

\(\left|2x-3\right|=3-2x\)

\(\Leftrightarrow\)2x-3=3-2x

\(\Leftrightarrow\)2x+2x=3+3

\(\Leftrightarrow\)4x=6

\(\Leftrightarrow x=\)\(\dfrac{3}{2}\)(t/m ĐK)
+)Với x<0 ta có:

\(\left|2x-3\right|=3-2x\)

\(\Leftrightarrow\)-(2x-3)=3-2x

\(\Leftrightarrow\)3-2x=3-2x

\(\Leftrightarrow\)3-3=2x-2x

\(\Leftrightarrow\)0=0x(ko t/m ĐK)

Vậy nghiệm của pt là x=\(\dfrac{3}{2}\)

5)\(\left|x-3\right|+3x=7\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left|x-3\right|=7-3x\)

Ta có:\(\left|x-3\right|=x-3\) khi x-3\(\ge\)0\(\Leftrightarrow\)x\(\ge\)0

\(\left|x-3\right|=-\left(x-3\right)\) khi x-3<0\(\Leftrightarrow\)x<0

+)Với x\(\ge\)0 ta có:

\(\left|x-3\right|=7-3x\)

\(\Leftrightarrow\)x-3=7-3x

\(\Leftrightarrow\)x+3x=3+7

\(\Leftrightarrow\)4x=10

\(\Leftrightarrow\)x=\(\dfrac{5}{2}\)(t/m ĐK)

+)Với x<0 ta có:

\(\left|x-3\right|=7-3x\)

\(\Leftrightarrow\)-(x-3)=7-3x

\(\Leftrightarrow\)3-x=7-3x

\(\Leftrightarrow\)3-7=x-3x

\(\Leftrightarrow\)-4=-2x

\(\Leftrightarrow\)x=2(ko t/m ĐK)

Vậy nghiệm của pt là x=\(\dfrac{5}{2}\)

1. \(\left|1-5x\right|-1=3\) (1)

* TH1 : 1-5x \(\ge\) 0 \(\Leftrightarrow\) 5x \(\le\) 1 \(\Leftrightarrow\) x \(\le\) \(\dfrac{1}{5}\)

Phương trình (1) \(\Leftrightarrow\) 1-5x -1 = 3

\(\Leftrightarrow\) -5x = 3

\(\Leftrightarrow\) x = \(\dfrac{-3}{5}\) ( thỏa mãn )

* TH2: 1-5x < 0 \(\Leftrightarrow\) 5x > 1 \(\Leftrightarrow\) x > \(\dfrac{1}{5}\)

Phương trình (1) \(\Leftrightarrow\) 5x -1 -1 = 3

\(\Leftrightarrow\) 5x = 5

\(\Leftrightarrow\) x = 1 ( thỏa mãn )

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = \(\left\{\dfrac{-3}{5},1\right\}\)

3, \(\left|3x-4\right|=x-3\) (3)

* TH1 : 3x-4\(\ge\) 0 \(\Leftrightarrow\) 3x \(\ge\) 4 \(\Leftrightarrow\) x \(\ge\) \(\dfrac{4}{3}\)

Phương trình (3) \(\Leftrightarrow\) 3x-4 = x-3

\(\Leftrightarrow\) 2x = 1

\(\Leftrightarrow\) x = \(\dfrac{1}{2}\)(thỏa mãn )

* TH2 : 3x-4<0 \(\Leftrightarrow\)3x<4 \(\Leftrightarrow\) x < \(\dfrac{4}{3}\)

Phương trình (3) \(\Leftrightarrow\) -3x+4 = x-3

\(\Leftrightarrow\) -4x = -7

\(\Leftrightarrow\) x = \(\dfrac{7}{4}\) (loại)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S= \(\left\{\dfrac{1}{2}\right\}\)

-Nếu \(x+3\ge0\)hay \(x\ge-3\Rightarrow|x+3|=x+3\)

Khi đó ta có:

F\(=6-3-\left(x+3\right)\)

\(=6-3-x-3\)

\(=-x\)

-Nếu \(x+3< 0\)hay \(x< -3\Rightarrow|x+3|=-\left(x+3\right)\)

Khi đó ta có:

F\(=6-3+\left(x+3\right)\)

\(=6+x\)

•Nếu \(x+3\ge0\Rightarrow x\ge-3\) thì \(\left|x+3\right|=x+3\)

•Nếu \(x+3< 0\Rightarrow x< -3\) thì \(\left|x+3\right|=-x-3\)

Tóm gọn từng phương trình có được dựa vào điều kiện khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối vừa tìm, ta có:

a/ \(6-3-x+3=6-x\) (với \(x\ge3\))

b/ \(6-3-3+x=x\) (với \(x< -3\))

* Khi \(x+3\ge0\Rightarrow x\ge-3\)

\(F=6-3-x-3\)

\(F=-x\)

* Khi \(x+3< 0\Rightarrow x< -3\)

\(F=6-3+x+3\)

\(F=6+x\)

Bài 35. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:

a) A = 3x + 2 + |5x| trong hai trường hợp: x ≥ 0 và x < 0;

b) B = |4x| -2x + 12 trong hai trường hợp: x ≤ 0 và x > 0;

c) C = |x - 4| - 2x + 12 khi x > 5;

d) D = 3x + 2 + |x + 5|

Hướng dẫn giải:

a) A = 3x + 2 + |5x|

=> A = 3x + 2 + 5x khi x ≥ 0

A = 3x + 2 - 5x khi x < 0

Vậy A = 8x + 2 khi x ≥ 0

A = -2x + 2 khi x < 0

b) B = 4x - 2x + 12 khi x ≥ 0

B = -4x -2x + 12 khi x < 0

Vậy B = 2x + 12 khi x ≥ 0

B = -6x khi x < 0

c) Với x > 5 => x - 4 > 1 hay x - 4 dương nên

C = x - 4 - 2x + 12 = -x + 8

Vậy với x > 5 thì C = -x + 8

d) D= 3x + 2 + x+ 5 khi x + 5 ≥ 0

D = 3x + 2 - (x + 5) khi x + 5 < 0

Vậy D = 4x + 7 khi x ≥ -5

D = 2x - 3 khi x < -5

a)với x>=0 <=> 5x>=0

=> |5x|= 5x

A= 3x + 2 + 5x = 8x+2

với x<0 <=> 5x <0

=> |5x|= - 5x

A= 3x + 2 - 5x= 2 - 2x

b) với x<=0 <=> -4x>=0

=> |-4x|= -4x

B= -4x - 2x +12= -6x +12

với x>0 <=> -4x<0

=> |-4x| = -(-4x)= 4x

B= 4x-2x+12= 2x+12

c) với x>5 <=> x - 4 > 1 (hay x-4 là số dương)

=> |x-4|= x-4

C= x - 4 - 2x+12 = -x + 8

d) với |x+5|= x+5 khi x+5 >=0 <=> x>= -5

với |x+5| = -(x+5)= -x -5 khi x+5 <0 <=> x< -5

*với x >= -5

D= 3x + 2 + x+5= 4x+7

*với x< -5

D= 3x + 2 -x -5 = 2x -3

a, Khi x>0 thì |5x| = 5x .Vậy A=3x+2+5x = 8x+2

Khi x<0 thì |5x|= -5x .Vậy A= 3x+2-5x =2-2x

b, Khi x<0 thì -4x >0 .Do đó |-4x|=-4x

Vậy B = -4x-2x+12=-6x+12

Khi x>0 thì -4x<0.Do đó |-4x|=4x

Vậy B= 4x-2x+12=2x-12

mik thấy bài nay dễ mà

Ta có : \(\left|9+x\right|=\left\{{}\begin{matrix}9+x\\-\left(9+x\right)\end{matrix}\right.\) khi 9+x\(\ge0\) hay x\(\ge-9\) khi 9+x<0 hay x<-9

+) Nếu \(x\ge-9\) thì py có dạng :

9+x=2x

\(\Leftrightarrow9=2x-x\)

\(\Leftrightarrow9=x\)

\(\Leftrightarrow x=9\) ( thỏa mãn)

+) Nếu x<-9 thì pt có dạng :

-9-x=2x

\(\Leftrightarrow-x-2x=9\)

\(\Leftrightarrow-3x=9\)

\(\Leftrightarrow x=-3\) ( ko thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của pt la S={9}

\(\left|9+x\right|=2x\)

* Nếu 9 + x \(\ge\)0 thì x \(\ge\) -9. Ta có:

9 + x = 2x

\(\Leftrightarrow\) x + 2x = 9

\(\Leftrightarrow\) 3x = 9

\(\Leftrightarrow\) x = 3 ( Thỏa mãn )

* Nếu 9 + x < 0 thì x < - 9. Ta có :

- 9 - x = 2x

\(\Leftrightarrow\) - x - 2x = 9

\(\Leftrightarrow\) -3x = 9

\(\Leftrightarrow\) x = -3 ( Loại )

Vậy phương trình có nghiệm là x = 3