Cho hình bình hành ABCD. CM: AB2 + BC2 + CD2 +DA2 = AC2 +BD2
Cho hình bình hành ABCD. CM: AB2 + BC2 + CD2 +DA2 = AC2 +BD2
Ta có: \(AC^2+BD^2=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)^2+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\right)^2\)
\(=AB^2+AD^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}+BC^2+BA^2+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}\)
\(=AB^2+AD^2+BC^2+AD^2+2\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}\right)\)
\(=AB^2+AD^2+BC^2+AD^2\)
trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A(-1,2) và tâm I(1/2:0) xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD, biết đường thẳng BC đi qua điểm m(4;-3)
I là trung điểm AC \(\Rightarrow C\left(2;-2\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{CM}=\left(2;-1\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC có dạng:
\(1\left(x-2\right)+2\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow x+2y+2=0\)
Đường thẳng AB qua A và vuông góc BC nên nhận \(\left(2;-1\right)\) là 1 vtpt
Phương trình AB:
\(2\left(x+1\right)-1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow2x-y+4=0\)
B là giao điểm AB và BC nên tọa độ là nghiệm:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y+2=0\\2x-y+4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(...\right)\)
I là trung điểm BD \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_D=2x_I-x_B=...\\y_D=2y_I-y_B=...\end{matrix}\right.\)
\(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=AM^2=\overrightarrow{AM}^2\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AM}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}\right)=0\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{MB}=0\)
\(\Rightarrow AM\perp BM\)
\(\Rightarrow\) Quỹ tích là đường tròn đường kính AB
\(\overrightarrow{AB}\left(2;1\right);\overrightarrow{BC}\left(-3;1\right);\overrightarrow{CA}\left(1;-2\right)\)
\(ptts:\)
\(d_{AB}:\left\{{}\begin{matrix}x=2+2t\\y=t\end{matrix}\right.\)
\(d_{BC}:\left\{{}\begin{matrix}x=4-3t\\y=1+t\end{matrix}\right.\)
\(d_{CA}:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2-2t\end{matrix}\right.\)
\(pttq:\)
\(d_{AB}:-1\left(x-2\right)+2y=0\Leftrightarrow2y-x+2=0\)
\(d_{BC}:x-4+3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x+3y-7=0\)
\(d_{CA}:2\left(x-1\right)+y-2=0\Leftrightarrow2x+y-4=0\)
b/ \(\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CM}\Rightarrow M\left(\dfrac{x_B+x_C}{2};\dfrac{y_B+y_C}{2}\right)\Rightarrow M\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{3}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_{AM}}=\left(-\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow d_{AM}:-\dfrac{3}{2}\left(x-2\right)+\dfrac{1}{2}y=0\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}y-\dfrac{3}{2}x+3=0\)
Cho tam giác ABC . CMR :
\(S=\dfrac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB^2}\overrightarrow{AC^2}-\left(\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}\right)^2}\)
Ta có : \(\dfrac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^2\overrightarrow{AC}^2-\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{2}.\sqrt{AB^2AC^2-\left(AB.AC.CosBAC\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{2}.\sqrt{AB^2AC^2-AB^2.AC^2.Cos^2BAC}\)
\(=\dfrac{1}{2}\sqrt{AB^2AC^2\left(1-Cos^2BAC\right)}\)
Thấy : \(Sin^2a+Cos^2a=1\)
\(\Rightarrow Sin^2a=1-Cos^2a\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}\sqrt{AB^2AC^2Sin^2BAC}=\dfrac{1}{2}\left|AB.AC.SinBAC\right|=\dfrac{1}{2}AB.AC.SinBAC=S\)
=> ĐPCM
Sao đề là lạ đoạn kia là \(\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)^2\)à
cho tam giác abca bằng 13 cm b 14 cm c 15cm tính diện tích tam giác abc góc b tù hay nhọn
tính bán kinh R r tính độ dài đường trung tuyến mb
Cho tứ giác ABCD,Gọi E,F lần lượt là trung điểm của các đường chéo Cmr:
\(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4EF^2\)
Giả sử E, F lần lượt là trung điểm AC, BD.
Theo công thức trung tuyến:
\(\left\{{}\begin{matrix}BE^2=\dfrac{AB^2+BC^2}{2}-\dfrac{AC^2}{4}\\DE^2=\dfrac{CD^2+DA^2}{2}-\dfrac{AC^2}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2+BC^2=2BE^2+\dfrac{AC^2}{2}\\CD^2+DA^2=2DE^2+AC^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow AB^2+BC^2+CA^2+DA^2\)
\(=2\left(BE^2+DE^2\right)+AC^2\)
\(=4EF^2+BD^2+AC^2\left(đpcm\right)\)
1) Cho hinh thang ABCD vuong tai A, D co AB = a, AD = 2a va CD = 3a. Goi M,N lan luot la trung diem cua cac canh AD va DC. Khi do /2 vecto AM + 1/2 vecto DC/ bang :
A. \(\dfrac{5a}{2}\) B. 5a C. 3a D.\(\dfrac{3a}{2}\)
Lời giải:
\(|2\overrightarrow{AM}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}|=|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}|=|\overrightarrow{AN}|=AN\)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $ADN$ vuông tại $D$ ta có:
\(AN=\sqrt{AD^2+DN^2}=\sqrt{(2a)^2+(\frac{3a}{2})^2}=\frac{5}{2}a\)
Đáp án A