Lời giải:
\(\text{HPT}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy=m+1\\ xy(x+y)=(2m-3)(m+1)\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy=m+1\\ x+y=2m-3\end{matrix}\right.\)
Theo hệ thức Viet, \(x,y\) sẽ là nghiệm của PT bậc hai:
\(X^2-(m+1)X+(2m-3)=0\)
Xét phương trình trên thấy
\(\Delta =(m+1)^2-4(2m-3)=m^2-6m+14=(m-3)^2+5>0\forall m\in\mathbb{R}\)
Do đó HPT có nghiệm với mọi số thực $m$
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=m+1\\x^2y+xy^2=2m^2-m-3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=m+1\\xy\left(x+y\right)=\left(2m-3\right)\left(m+1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=m+1\\xy=2m-3\end{matrix}\right.\)
theo hệ thức vi ét đảo ta có x ; y là nghiệm của phương trình :
\(x^2-\left(m+1\right)x+2m-3\)
\(\Delta\) = \(\left(m+1\right)^2-4\left(2m-3\right)\) = \(m^2+2m+1-8m+12\) = \(m^2-6m+13\)
= \(m^2-2.3.m+3^2+4\) = \(\left(m-3\right)^2+4\) \(\ge\) \(4>0\) \(\forall\)m
vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\forall\)m (đpcm)
