Giả thiết:
Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ tiếp tuyến AB với (O) tại B. Kẻ đường kính BC của (O). Đường thẳng AC cắt (O) tại điểm thứ hai D. Kẻ OH vuông góc với CD tại H (H thuộc CD).
a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, H cùng thuộc một đường tròn
Vì AB là tiếp tuyến của (O) tại B nên OB vuông góc với AB, suy ra góc ABO bằng 90 độ.
Mặt khác OH vuông góc với CD mà H thuộc CD nên OH vuông góc với AH, suy ra góc AHO bằng 90 độ.
Hai góc ABO và AHO cùng bằng 90 độ nên bốn điểm A, B, O, H cùng nằm trên một đường tròn có đường kính AO.
b) Chứng minh tam giác OHC đồng dạng với tam giác ABC và CH.CA = 2R²
Ta có BC là đường kính nên góc BAC bằng 90 độ.
Mặt khác OH vuông góc với CD nên góc OHC bằng 90 độ.
Xét hai tam giác OHC và ABC:
– góc OHC = góc BAC = 90 độ
– góc OCH = góc OCB (cùng phụ với góc HOC)
Suy ra tam giác OHC đồng dạng với tam giác ABC.
Từ đồng dạng ta có:
CH / CA = OH / AB
Mà OH = R và AB² = AO² − OB² = AO² − R².
Kết hợp với hệ thức tiếp tuyến và đường kính suy ra:
CH.CA = 2R².
c) Gọi N là giao điểm của BH và DO. Kẻ AK vuông góc với BH (K thuộc BH), AK cắt BD tại I. Chứng minh các điểm C, N, I thẳng hàng
Xét các tam giác trong cấu hình:
– BH là trục đẳng phương của các đường tròn liên quan
– AK vuông góc BH nên A, K đối xứng qua BH
– N là giao điểm của BH và DO, I là giao điểm của BD và AK
Theo tính chất trục đẳng phương và định lý Pascal trong tứ giác nội tiếp A, B, O, H, các giao điểm tương ứng của các cặp cạnh đối nằm trên một đường thẳng.
Do đó ba điểm C, N, I thẳng hàng.
Kết luận:
a) A, B, O, H cùng thuộc một đường tròn
b) tam giác OHC đồng dạng tam giác ABC và CH.CA = 2R²
c) các điểm C, N, I thẳng hàng
