Question

Cho \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\). Kẻ \(HD \perp AB\) tại \(D\) và \(HE \perp AC\) tại \(E\). Chứng minh:

\[
(\cot B + \cot C)^2 = \frac{S_{ABC}}{S_{ADE}}.
\]

Answer 1

Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

=>DE=AH

Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\) (1)

Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\)

=>\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Xét ΔADE vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Do đó: ΔADE~ΔACB

=>\(\frac{S_{ADE}}{S_{ACB}}=\left(\frac{DE}{CB}\right)^2=\frac{AH^2}{BC^2}\)

=>\(\frac{S_{ACB}}{S_{ADE}}=\frac{BC^2}{AH^2}\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)

\(\left(\cot B+\cot C\right)^2=\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AB}\right)^2\)

\(=\left(\frac{AB^2+AC^2}{AB\cdot AC}\right)^2=\left(\frac{BC^2}{BC\cdot AH}\right)^2=\left(\frac{BC}{AH}\right)^2=\frac{BC^2}{AH^2}\)

=>\(\frac{S_{ACB}}{S_{ADE}}=\left(\cot B+\cot C\right)^2\)