Question

1. Cho \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\), có đường cao \(AH\). Gọi \(D\) là trung điểm \(BC\). Vẽ đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và vuông góc \(AD\). Đường thẳng vuông với \(BC\) tại \(B\) và cắt \(d\) tại \(M\), đường thẳng vuông góc \(BC\) tại \(C\) và cắt \(d\) tại \(N\). Chứng minh \(MB, NC = \frac{BC^2}{4}\)

Answer 1

ΔABC vuông tại A

mà AD là đường trung tuyến

nên DA=DB=DC

Xét ΔDAM vuông tại A và ΔDBM vuông tại B có

DM chung

DA=DB

DO đó: ΔDAM=ΔDBM

=>MA=MB và \(\hat{ADM}=\hat{BDM}\)

Vì \(\hat{ADM}=\hat{BDM}\)

nên DM là phân giác của góc ADB

=>\(\hat{ADB}=2\cdot\hat{ADM}\)

Xét ΔNAD vuông tại A và ΔNCD vuông tại C có

ND chung

DA=DC

Do đó: ΔNAD=ΔNCD

=>NA=NC và \(\hat{ADN}=\hat{CDN}\)

Vì \(\hat{ADN}=\hat{CDN}\)

nên DN là phân giác của góc ADC

=>\(\hat{ADC}=2\cdot\hat{ADN}\)

Ta có: \(\hat{ADB}+\hat{ADC}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{ADN}+\hat{ADM}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{NDM}=90^0\cdot2\)

=>\(\hat{NDM}=90^0\)

Xét ΔNDM vuông tại D có DA là đường cao

nên \(MA\cdot NA=DA^2\)

=>\(BM\cdot CN=DA^2=\left(\frac12BC\right)^2=\frac14BC^2\)

Answer 2

ΔABC vuông tại A

mà AD là đường trung tuyến

nên DA=DB=DC

Xét ΔDAM vuông tại A và ΔDBM vuông tại B có

DM chung

DA=DB

DO đó: ΔDAM=ΔDBM

=>MA=MB và \(\hat{ADM}=\hat{BDM}\)

Vì \(\hat{ADM}=\hat{BDM}\)

nên DM là phân giác của góc ADB

=>\(\hat{ADB}=2\cdot\hat{ADM}\)

Xét ΔNAD vuông tại A và ΔNCD vuông tại C có

ND chung

DA=DC

Do đó: ΔNAD=ΔNCD

=>NA=NC và \(\hat{ADN}=\hat{CDN}\)

Vì \(\hat{ADN}=\hat{CDN}\)

nên DN là phân giác của góc ADC

=>\(\hat{ADC}=2\cdot\hat{ADN}\)

Ta có: \(\hat{ADB}+\hat{ADC}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{ADN}+\hat{ADM}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{NDM}=90^0\cdot2\)

=>\(\hat{NDM}=90^0\)

Xét ΔNDM vuông tại D có DA là đường cao

nên \(MA\cdot NA=DA^2\)

=>\(BM\cdot CN=DA^2=\left(\frac12BC\right)^2=\frac14BC^2\)