Cho nửa đường tròn \((O)\), đường kính \(AB\). Trên nửa đường tròn \((O)\) lấy điểm \(C\) (khác \(A\) và \(B\)). Trên cung \(CB\) của nửa đường tròn lấy điểm \(D\) (khác \(C\) và \(B\)). Kẻ \(CH \perp AB\) tại \(H\), \(CK \perp AD\) tại \(K\). Gọi \(I\) là giao điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(CH\).
a) Chứng minh 4 điểm \(A, H, K, C\) cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh: \(KCH = DCB\) và \(AI \cdot AD = AH \cdot AB\).
c) Tia \(CK\) cắt đoạn thẳng \(HD\) tại điểm \(P\). Chứng minh \(IP \parallel CD\).
a: Xét tứ giác AHKC có \(\hat{AHC}=\hat{AKC}=90^0\)
nên AHKC là tứ giác nội tiếp
=>A,H,K,C cùng thuộc một đường tròn
b: AHKC là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{KCH}=\hat{KAH}=\hat{DAB}\left(1\right)\)
Xét (O) có
\(\hat{DAB};\hat{DCB}\) là các góc nội tiếp chắn cung DB
=>\(\hat{DAB}=\hat{DCB}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\hat{KCH}=\hat{DCB}\)
Xét (O) có
ΔADB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔADB vuông tại D
Xét ΔAHI vuông tại H và ΔADB vuông tại D có
\(\hat{HAI}\) chung
Do đó: ΔAHI~ΔADB
=>\(\frac{AH}{AD}=\frac{AI}{AB}\)
=>\(AI\cdot AD=AH\cdot AB\)
