Bài 5: (2,5 điểm) Cho tam giác \( ABC \) có ba góc nhọn. Đường tròn \((O; R)\) có đường kính \( BC \) cắt \( AB, AC \) lần lượt tại \( F \) và \( E \). \( BE \) cắt \( CF \) tại \( H \).
a) Chứng minh tứ giác \( AFHE \) nội tiếp. Xác định tâm \( I \) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \( AFHE \).
b) Tia \( AH \) cắt \( BC \) tại \( D \). Chứng minh: \( HE \cdot HB = 2 \cdot HD \cdot HI \)
c) Tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( ABC \) và chứng minh 4 điểm \( D, E, I, F \) cùng nằm trên một đường tròn.
a: Xét (O) có
ΔBFC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBFC vuông tại F
=>CF\(\perp\)AB tại F
Xét (O) có
ΔBEC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBEC vuông tại E
=>BE\(\perp\)AC tại E
Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
Tâm I là trung điểm của AH
b: Xét ΔABC có
BE,CF là các đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔBCA
=>AH\(\perp\)BC tại D
Xét ΔHDB vuông tại D và ΔHEA vuông tại E có
\(\widehat{DHB}=\widehat{EHA}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó; ΔHDB~ΔHEA
=>\(\dfrac{HD}{HE}=\dfrac{HB}{HA}=\dfrac{HB}{2\cdot HI}\)
=>\(HB\cdot HE=2\cdot HD\cdot HI\)
