Câu IV (3,0 điểm)
Cho tam giác \( ABC \) có ba góc nhọn, \( AB < AC \), nội tiếp đường tròn \((O)\). Các tiếp tuyến tại \( B, C \) của \((O)\) cắt nhau tại \( D \). Vẽ đường kính \( AK \) của \((O)\), tia \( DK \) cắt \((O)\) tại điểm \( L \) ( \( L \) khác \( K \) ). Đường thẳng qua \( O \) song song với \( AL \) cắt \( BC, KL \) lần lượt tại \( S, H \).
1) Chứng minh rằng tứ giác \( OBDC \) là một tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng \( SO \) là trung trực của đoạn thẳng \( KL \).
3) Gọi \( M \) là trung điểm \( BC \). Chứng minh \( OH : OS = OM : OD \) và \( \widehat{OAH} = \widehat{OSA} \).
Bài cho:
Tam giác ABC nhọn, AB nhỏ hơn AC, nội tiếp đường tròn (O).
Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại D.
AK là đường kính của (O).
DA cắt (O) tại điểm L (L khác K).
Qua O kẻ đường thẳng song song với AL cắt BC tại S.
M là trung điểm của BC.
Chứng minh tứ giác OBDC là tứ giác nội tiếp
Vì DB và DC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C nên
OB vuông góc với DB
OC vuông góc với DC
Suy ra góc OBD bằng 90 độ và góc OCD bằng 90 độ.
Hai góc đối của tứ giác OBDC có tổng bằng 180 độ nên tứ giác OBDC là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh S O là trung trực đoạn KL
Vì AK là đường kính của (O) nên góc ALK bằng 90 độ.
Do đó AL vuông góc với KL.
Lại có O là tâm đường tròn nên O nằm trên đường trung trực của dây KL.
Mặt khác, đường thẳng OS song song với AL nên OS cũng vuông góc với KL.
Vì OS vuông góc với KL tại O nên OS là đường trung trực của đoạn KL.
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh OH nhân OS bằng OM nhân OD và góc OAH bằng góc OSA
Do OBDC là tứ giác nội tiếp nên áp dụng định lí về lực của điểm M đối với đường tròn (OBDC), ta có:
OM nhân OD bằng OB nhân OC.
Mặt khác, vì O là trung điểm cung BC nên OB bằng OC, suy ra:
OM nhân OD bằng OH nhân OS.
Tiếp theo, vì OS song song với AL và H, A, L thẳng hàng nên góc OAH bằng góc OSA (hai góc so le trong).
