1: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn
2: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của CB(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của CB(2)
Từ (1),(2) suy ra AO là đường trung trực của BC
=>AO\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét (O) có
\(\widehat{ABM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BM
\(\widehat{BNM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM
Do đó: \(\widehat{ABM}=\widehat{BNM}\)
Xét ΔABM và ΔANB có
\(\widehat{ABM}=\widehat{ANB}\)
\(\widehat{BAM}\) chung
Do đó: ΔABM~ΔANB
=>\(\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AB}\)
=>\(AM\cdot AN=AB^2\left(3\right)\)
Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(AM\cdot AN=AH\cdot AO\)
3: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AO là phân giác của góc BAC
Ta có: \(\widehat{ABM}+\widehat{OBM}=\widehat{OBA}=90^0\)
\(\widehat{CBM}+\widehat{OMB}=90^0\)(ΔBHM vuông tại H)
mà \(\widehat{OMB}=\widehat{OBM}\)(ΔOBM cân tại O)
nên \(\widehat{ABM}=\widehat{CBM}\)
=>BM là phân giác của góc ABC
Xét ΔABC có
BM,AO là các đường phân giác
BM cắt AO tại M
Do đó: M là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC
