a.
Do AM là đường kính của (O)
\(\Rightarrow\widehat{ABM}\) là góc nt chắn nửa đường tròn
\(\Rightarrow\widehat{ABM}=90^0\)
\(\Rightarrow MB\perp AB\) (1)
Do H là trực tâm tam giác ABC \(\Rightarrow CH\perp AB\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow MB//CH\)
Hoàn toàn tương tự ta có \(\widehat{ACM}\) là góc nt chắn nửa đường tròn nên \(CM\perp AC\) và H là trực tâm nên \(BH\perp AC\)
\(\Rightarrow CM||BH\)
\(\Rightarrow BHCM\) là hbh (tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song)
b.
Do AM là đường kính và O là tâm đường tròn \(\Rightarrow\) O là trung điểm AM (3)
Do BHCM là hbh (cmt) \(\Rightarrow\) hai đường chéo BC, HM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Mà N là trung điểm BC \(\Rightarrow N\) là trung điểm HM (4)
(3);(4) \(\Rightarrow ON\) là đường trung bình tam giác MAH
\(\Rightarrow ON=\dfrac{1}{2}AH\Rightarrow AH=2ON\)
c.
Do G là trọng tâm ABC và N là trung điểm BC
\(\Rightarrow AG=\dfrac{2}{3}AN\)
Trong tam giác AHM, do N là trung điểm HM (cmt) và \(AG=\dfrac{2}{3}AN\)
\(\Rightarrow G\) cũng là trọng tâm tam giác AHM
\(\Rightarrow HG\) đi qua trung điểm của cạnh AM
\(\Rightarrow HG\) đi qua O
Hay H, G, O thẳng hàng
Theo tính chất trọng tâm, ta có: \(HG=2GO\)
