Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ẩn danh
Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 8 2024 lúc 22:26

1.

ĐKXĐ: \(0\le x\le2\)

Đặt \(\sqrt{2-x}+\sqrt{x}=t>0\)

\(\Rightarrow t^2=2+2\sqrt{2x-x^2}\Rightarrow\sqrt{2x-x^2}=\dfrac{t^2-2}{2}\)

Pt trở thành:

\(t+\dfrac{5\left(t^2-2\right)}{2}=7\)

\(\Leftrightarrow5t^2+2t-24=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=-\dfrac{12}{5}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{2-x}=2\)

\(\Leftrightarrow2+2\sqrt{2x-x^2}=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-x^2}=1\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 8 2024 lúc 22:28

2.

ĐKXĐ: \(-5\le x\le5\)

Đặt \(\sqrt{5-x}+\sqrt{x+5}=t>0\)

\(\Rightarrow t^2=10+2\sqrt{25-x^2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{25-x^2}=\dfrac{t^2-10}{2}\) (1)

Pt trở thành:

\(t+\dfrac{5\left(t^2-10\right)}{2}=19\)

\(\Leftrightarrow5t^2+2t-88=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=4\\t=-\dfrac{22}{5}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Thay vào (1)

\(\Rightarrow\sqrt{25-x^2}=\dfrac{16-10}{2}=3\)

\(\Leftrightarrow25-x^2=9\)

\(\Leftrightarrow x=\pm4\)

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 8 2024 lúc 22:32

3.

ĐKXĐ: \(-2\le x\le11\)

Đặt \(\sqrt{11-x}+\sqrt{x+2}=t>0\)

\(\Rightarrow t^2=13+2\sqrt{22+9x-x^2}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{22+9x-x^2}=t^2-13\) (1)

Phương trình trở thành:

\(t+t^2-13=17\)

\(\Leftrightarrow t^2+t-30=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=5\\t=-6\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Thay vào (1):

\(2\sqrt{22+9x-x^2}=5^2-13=12\)

\(\Leftrightarrow22+9x-x^2=36\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=7\\x=2\end{matrix}\right.\)

Nguyễn Đức Trí
12 tháng 8 2024 lúc 22:34

1) \(\sqrt{2-x}+\sqrt{x}+5\sqrt{2x-x^2}=7\left(1\right)\)

Tập xác định \(0\le x\le2\)

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được :

\(\sqrt{2-x}+\sqrt{x}+5\sqrt{2x-x^2}\le\sqrt{27\left(-x^2+2x+2\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :

\(\dfrac{\sqrt{2-x}}{1}=\dfrac{\sqrt{x}}{1}=\dfrac{\sqrt{2x-x^2}}{5}\Leftrightarrow x=1\)

Thay \(x=1\) vào (1) thỏa

Vậy \(x=1\)

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 8 2024 lúc 22:37

4.

\(-\sqrt{5}\le x\le\sqrt{5}\)

Đặt \(x+\sqrt{5-x^2}=t\)

\(\Rightarrow t^2=5+2x\sqrt{5-x^2}\)

\(\Rightarrow x\sqrt{5-x^2}=\dfrac{t^2-5}{2}\)

Pt trở thành:

\(t+\dfrac{3\left(t^2-5\right)}{2}=9\)

\(\Leftrightarrow3t^2+2t-33=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=-\dfrac{11}{3}\end{matrix}\right.\)

- Với \(t=3\Rightarrow x+\sqrt{5-x^2}=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{5-x^2}=3-x\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3-x\ge0\\5-x^2=\left(3-x\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le3\\2x^2-6x+4=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=\left\{1;2\right\}\)

- Với \(t=-\dfrac{11}{3}\Rightarrow x+\sqrt{5-x^2}=-\dfrac{11}{3}\)

\(\Rightarrow\sqrt{5-x^2}=-x-\dfrac{11}{3}\)

Khi \(x\ge-\sqrt{5}\Rightarrow-x-\dfrac{11}{3}\le\sqrt{5}-\dfrac{11}{3}< 0\) nên pt vô nghiệm

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 8 2024 lúc 22:42

5.

ĐKXĐ: \(-\dfrac{1}{4}\le x\le\dfrac{4}{9}\)

Đặt \(2\sqrt{4-9x}+3\sqrt{4x+1}=t>0\)

\(\Rightarrow t^2=25+12\sqrt{\left(4-9x\right)\left(4x+1\right)}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(4-9x\right)\left(4x+1\right)}=\dfrac{t^2-25}{12}\) (1)

Pt trở thành:

\(t+\dfrac{t^2-25}{3}=15\)

\(\Leftrightarrow t^2+3t-70=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=7\\t=-10\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Thay vào (1):

\(\sqrt{\left(4-9x\right)\left(4x+1\right)}=\dfrac{7^2-25}{12}=2\)

\(\Leftrightarrow-36x^2-20x=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=...\\x=...\end{matrix}\right.\)

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 8 2024 lúc 22:47

6.

(Để ý rằng câu 6 mặc dù hướng dẫn ghi là đặt 2 ẩn, nhưng thực tê có thể thấy hệ số biến x trong các căn vẫn đối nhau, \(5^2.\left(-4\right)+2^2.25=0\) nên chỉ cần đặt 1 ẩn vẫn được. Dễ giải hơn và dễ xử lý hơn)

ĐKXĐ: \(-\dfrac{4}{25}\le x\le\dfrac{1}{4}\)

Đặt \(5\sqrt{1-4x}+2\sqrt{25x+4}=t>0\)

\(\Rightarrow t^2=41+20\sqrt{\left(1-4x\right)\left(25x+4\right)}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(1-4x\right)\left(25x+4\right)}=\dfrac{t^2-41}{20}\) (1)

Pt trở thành:

\(t+\dfrac{t^2-41}{20}=11\)

\(\Leftrightarrow t^2+20t-261=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=9\\t=-29\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Thay vào (1):

\(\sqrt{\left(1-4x\right)\left(25x+4\right)}=\dfrac{9^2-41}{20}=2\)

\(\Leftrightarrow...\)

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 8 2024 lúc 22:51

7.

ĐKXĐ: \(-\dfrac{5}{4}\le x\le1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4x+5}+2\sqrt{1-x}+4\sqrt{\left(1-x\right)\left(4x+5\right)}=3\)

Đặt \(t=\sqrt{4x+5}+2\sqrt{1-x}>0\)

\(\Rightarrow t^2=9+4\sqrt{\left(1-x\right)\left(4x+5\right)}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(1-x\right)\left(4x+5\right)}=\dfrac{t^2-9}{4}\) (1)

Pt trở thành:

\(t+t^2-9=3\)

\(\Leftrightarrow t^2+t-12=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=-4\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Thay vào (1):

\(\sqrt{\left(1-x\right)\left(4x+5\right)}=\dfrac{3^2-9}{4}=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 8 2024 lúc 22:53

8.

ĐKXĐ: \(-3\le x\le\dfrac{5}{4}\)

Đặt \(\sqrt{5-4x}+2\sqrt{x+3}=t>0\)

\(\Rightarrow t^2=17+4\sqrt{\left(5-4x\right)\left(x+3\right)}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(5-4x\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{t^2-17}{4}\) (1)

Pt trở thành:

\(t+t^2-17=13\)

\(\Leftrightarrow t^2+t-30=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=5\\t=-6\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Thay vào (1):

\(\sqrt{\left(5-4x\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{5^2-17}{4}=2\)

\(\Leftrightarrow\left(5-4x\right)\left(x+3\right)=4\)

\(\Leftrightarrow...\)

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 8 2024 lúc 23:05

9.

ĐKXĐ: \(-12\le x\le4\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=x+3\\b=\sqrt{-x^2-8x+48}\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=-2x+57\\ab=x-24\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=-2x+57\\2ab=2x-48\end{matrix}\right.\)

Cộng vế:

\(\left(a+b\right)^2=9\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=3\\a+b=-3\end{matrix}\right.\)

TH1: \(a+b=3\Rightarrow b=3-a\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{-x^2-8x+48}=-x\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x\ge0\\-x^2-8x+48=x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le0\\2x^2+8x-48=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=-2-2\sqrt{7}\)

TH2: \(a+b=-3\Rightarrow b=-3-a\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{-x^2-8x+48}=-x-6\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x-6\ge0\\-x^2-8x+48=\left(-x-6\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le-6\\2x^2+24x-12=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=-5-\sqrt{31}\)

Em check lại phần tính toán

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 8 2024 lúc 23:10

10.

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}-12\le x\le4\\x\ne-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x+3\right)\sqrt{-x^2-8x+48}=28-x\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+3=a\\\sqrt{-x^2-8x+48}=b\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=-2x+57\\ab=28-x\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=-2x+57\\2ab=56-2x\end{matrix}\right.\)

Trừ vế cho vế:

\(\left(a-b\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=a-1\\b=a+1\end{matrix}\right.\)

TH1: \(b=a-1\Leftrightarrow\sqrt{-x^2-8x+48}=x+2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\-x^2-8x+48=\left(x+2\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow...\)

TH2: tương tự (pt vô tỉ dạng \(\sqrt{A}=B\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}B\ge0\\A=B^2\end{matrix}\right.\) )

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 8 2024 lúc 23:15

11.

\(\Leftrightarrow3x^2-5x-2+2\left(x-1\right)\sqrt{2x^2-3x+1}=0\)

ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}x\ge1\\x\le\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Dạng bài này có nhiều cách giải, cách thứ nhất là theo hướng dẫn của người ta:

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=x-1\\b=\sqrt{2x^2-3x+1}\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=3x^2-5x+2\)

Ta được:

\(a^2+b^2-4+2ab=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=2-a\\b=-2-a\end{matrix}\right.\)

Tới đây quay về dạng \(\sqrt{A}=B\) em có thể tự giải

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 8 2024 lúc 23:18

11. Có thể sử dụng 1 cách làm khác như sau (gọi là phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn):

\(pt\Leftrightarrow2x^2-3x+1+2\left(x-1\right)\sqrt{2x^2-3x+1}+x^2-2x-3=0\)

Đặt \(\sqrt{2x^2-3x+1}=t\)

\(\Rightarrow t^2+2\left(x-1\right)t+x^2-2x-3=0\)

Coi đây là pt bậc 2 ẩn t tham số x, ta có:

\(\Delta'=\left(x-1\right)^2-\left(x^2-2x-3\right)=4\)

Nên pt có 2 nghiệm pb:

\(\left[{}\begin{matrix}t=-\left(x-1\right)+\sqrt{4}=3-x\\t=-\left(x-1\right)-\sqrt{4}=-x-1\end{matrix}\right.\)

Vẫn được kết quả y như cách cũ

Nguyễn Việt Lâm
12 tháng 8 2024 lúc 23:22

12.

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-2=a\\\sqrt{x^2+x+1}=b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+4b^2=5x^2+8\)

\(\Rightarrow5x^2=a^2+4b^2-8\)

Phương trình trở thành:

\(a^2+4b^2-8+4ab=1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+2b\right)^2=9\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+2b=3\\a+2b=-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2b=3-a\\2b=-3-a\end{matrix}\right.\)

Tới đây em có thể tự hoàn thành. Bài này cũng như bài trước, nếu muốn ta cũng có thể đặt ẩn phụ ko hoàn toàn được


Các câu hỏi tương tự
Xuân Thường Đặng
Xem chi tiết
Thảo Thảo
Xem chi tiết
Nguyên
Xem chi tiết
Đỗ Thành Đạt
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
gh
Xem chi tiết
LovE _ Khánh Ly_ LovE
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Trần Thủy Tiên
Xem chi tiết