1.
ĐKXĐ: \(0\le x\le2\)
Đặt \(\sqrt{2-x}+\sqrt{x}=t>0\)
\(\Rightarrow t^2=2+2\sqrt{2x-x^2}\Rightarrow\sqrt{2x-x^2}=\dfrac{t^2-2}{2}\)
Pt trở thành:
\(t+\dfrac{5\left(t^2-2\right)}{2}=7\)
\(\Leftrightarrow5t^2+2t-24=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=2\\t=-\dfrac{12}{5}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{2-x}=2\)
\(\Leftrightarrow2+2\sqrt{2x-x^2}=4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-x^2}=1\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
2.
ĐKXĐ: \(-5\le x\le5\)
Đặt \(\sqrt{5-x}+\sqrt{x+5}=t>0\)
\(\Rightarrow t^2=10+2\sqrt{25-x^2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{25-x^2}=\dfrac{t^2-10}{2}\) (1)
Pt trở thành:
\(t+\dfrac{5\left(t^2-10\right)}{2}=19\)
\(\Leftrightarrow5t^2+2t-88=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=4\\t=-\dfrac{22}{5}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Thay vào (1)
\(\Rightarrow\sqrt{25-x^2}=\dfrac{16-10}{2}=3\)
\(\Leftrightarrow25-x^2=9\)
\(\Leftrightarrow x=\pm4\)
3.
ĐKXĐ: \(-2\le x\le11\)
Đặt \(\sqrt{11-x}+\sqrt{x+2}=t>0\)
\(\Rightarrow t^2=13+2\sqrt{22+9x-x^2}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{22+9x-x^2}=t^2-13\) (1)
Phương trình trở thành:
\(t+t^2-13=17\)
\(\Leftrightarrow t^2+t-30=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=5\\t=-6\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Thay vào (1):
\(2\sqrt{22+9x-x^2}=5^2-13=12\)
\(\Leftrightarrow22+9x-x^2=36\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=7\\x=2\end{matrix}\right.\)
1) \(\sqrt{2-x}+\sqrt{x}+5\sqrt{2x-x^2}=7\left(1\right)\)
Tập xác định \(0\le x\le2\)
Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được :
\(\sqrt{2-x}+\sqrt{x}+5\sqrt{2x-x^2}\le\sqrt{27\left(-x^2+2x+2\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :
\(\dfrac{\sqrt{2-x}}{1}=\dfrac{\sqrt{x}}{1}=\dfrac{\sqrt{2x-x^2}}{5}\Leftrightarrow x=1\)
Thay \(x=1\) vào (1) thỏa
Vậy \(x=1\)
4.
\(-\sqrt{5}\le x\le\sqrt{5}\)
Đặt \(x+\sqrt{5-x^2}=t\)
\(\Rightarrow t^2=5+2x\sqrt{5-x^2}\)
\(\Rightarrow x\sqrt{5-x^2}=\dfrac{t^2-5}{2}\)
Pt trở thành:
\(t+\dfrac{3\left(t^2-5\right)}{2}=9\)
\(\Leftrightarrow3t^2+2t-33=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=-\dfrac{11}{3}\end{matrix}\right.\)
- Với \(t=3\Rightarrow x+\sqrt{5-x^2}=3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{5-x^2}=3-x\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3-x\ge0\\5-x^2=\left(3-x\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le3\\2x^2-6x+4=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=\left\{1;2\right\}\)
- Với \(t=-\dfrac{11}{3}\Rightarrow x+\sqrt{5-x^2}=-\dfrac{11}{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt{5-x^2}=-x-\dfrac{11}{3}\)
Khi \(x\ge-\sqrt{5}\Rightarrow-x-\dfrac{11}{3}\le\sqrt{5}-\dfrac{11}{3}< 0\) nên pt vô nghiệm
5.
ĐKXĐ: \(-\dfrac{1}{4}\le x\le\dfrac{4}{9}\)
Đặt \(2\sqrt{4-9x}+3\sqrt{4x+1}=t>0\)
\(\Rightarrow t^2=25+12\sqrt{\left(4-9x\right)\left(4x+1\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(4-9x\right)\left(4x+1\right)}=\dfrac{t^2-25}{12}\) (1)
Pt trở thành:
\(t+\dfrac{t^2-25}{3}=15\)
\(\Leftrightarrow t^2+3t-70=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=7\\t=-10\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Thay vào (1):
\(\sqrt{\left(4-9x\right)\left(4x+1\right)}=\dfrac{7^2-25}{12}=2\)
\(\Leftrightarrow-36x^2-20x=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=...\\x=...\end{matrix}\right.\)
6.
(Để ý rằng câu 6 mặc dù hướng dẫn ghi là đặt 2 ẩn, nhưng thực tê có thể thấy hệ số biến x trong các căn vẫn đối nhau, \(5^2.\left(-4\right)+2^2.25=0\) nên chỉ cần đặt 1 ẩn vẫn được. Dễ giải hơn và dễ xử lý hơn)
ĐKXĐ: \(-\dfrac{4}{25}\le x\le\dfrac{1}{4}\)
Đặt \(5\sqrt{1-4x}+2\sqrt{25x+4}=t>0\)
\(\Rightarrow t^2=41+20\sqrt{\left(1-4x\right)\left(25x+4\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(1-4x\right)\left(25x+4\right)}=\dfrac{t^2-41}{20}\) (1)
Pt trở thành:
\(t+\dfrac{t^2-41}{20}=11\)
\(\Leftrightarrow t^2+20t-261=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=9\\t=-29\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Thay vào (1):
\(\sqrt{\left(1-4x\right)\left(25x+4\right)}=\dfrac{9^2-41}{20}=2\)
\(\Leftrightarrow...\)
7.
ĐKXĐ: \(-\dfrac{5}{4}\le x\le1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{4x+5}+2\sqrt{1-x}+4\sqrt{\left(1-x\right)\left(4x+5\right)}=3\)
Đặt \(t=\sqrt{4x+5}+2\sqrt{1-x}>0\)
\(\Rightarrow t^2=9+4\sqrt{\left(1-x\right)\left(4x+5\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(1-x\right)\left(4x+5\right)}=\dfrac{t^2-9}{4}\) (1)
Pt trở thành:
\(t+t^2-9=3\)
\(\Leftrightarrow t^2+t-12=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=-4\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Thay vào (1):
\(\sqrt{\left(1-x\right)\left(4x+5\right)}=\dfrac{3^2-9}{4}=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)
8.
ĐKXĐ: \(-3\le x\le\dfrac{5}{4}\)
Đặt \(\sqrt{5-4x}+2\sqrt{x+3}=t>0\)
\(\Rightarrow t^2=17+4\sqrt{\left(5-4x\right)\left(x+3\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(5-4x\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{t^2-17}{4}\) (1)
Pt trở thành:
\(t+t^2-17=13\)
\(\Leftrightarrow t^2+t-30=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=5\\t=-6\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Thay vào (1):
\(\sqrt{\left(5-4x\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{5^2-17}{4}=2\)
\(\Leftrightarrow\left(5-4x\right)\left(x+3\right)=4\)
\(\Leftrightarrow...\)
9.
ĐKXĐ: \(-12\le x\le4\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=x+3\\b=\sqrt{-x^2-8x+48}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=-2x+57\\ab=x-24\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=-2x+57\\2ab=2x-48\end{matrix}\right.\)
Cộng vế:
\(\left(a+b\right)^2=9\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=3\\a+b=-3\end{matrix}\right.\)
TH1: \(a+b=3\Rightarrow b=3-a\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{-x^2-8x+48}=-x\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x\ge0\\-x^2-8x+48=x^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le0\\2x^2+8x-48=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=-2-2\sqrt{7}\)
TH2: \(a+b=-3\Rightarrow b=-3-a\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{-x^2-8x+48}=-x-6\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x-6\ge0\\-x^2-8x+48=\left(-x-6\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le-6\\2x^2+24x-12=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x=-5-\sqrt{31}\)
Em check lại phần tính toán
10.
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}-12\le x\le4\\x\ne-3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x+3\right)\sqrt{-x^2-8x+48}=28-x\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+3=a\\\sqrt{-x^2-8x+48}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=-2x+57\\ab=28-x\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=-2x+57\\2ab=56-2x\end{matrix}\right.\)
Trừ vế cho vế:
\(\left(a-b\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=a-1\\b=a+1\end{matrix}\right.\)
TH1: \(b=a-1\Leftrightarrow\sqrt{-x^2-8x+48}=x+2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\-x^2-8x+48=\left(x+2\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)
TH2: tương tự (pt vô tỉ dạng \(\sqrt{A}=B\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}B\ge0\\A=B^2\end{matrix}\right.\) )
11.
\(\Leftrightarrow3x^2-5x-2+2\left(x-1\right)\sqrt{2x^2-3x+1}=0\)
ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}x\ge1\\x\le\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Dạng bài này có nhiều cách giải, cách thứ nhất là theo hướng dẫn của người ta:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=x-1\\b=\sqrt{2x^2-3x+1}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=3x^2-5x+2\)
Ta được:
\(a^2+b^2-4+2ab=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=2-a\\b=-2-a\end{matrix}\right.\)
Tới đây quay về dạng \(\sqrt{A}=B\) em có thể tự giải
11. Có thể sử dụng 1 cách làm khác như sau (gọi là phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn):
\(pt\Leftrightarrow2x^2-3x+1+2\left(x-1\right)\sqrt{2x^2-3x+1}+x^2-2x-3=0\)
Đặt \(\sqrt{2x^2-3x+1}=t\)
\(\Rightarrow t^2+2\left(x-1\right)t+x^2-2x-3=0\)
Coi đây là pt bậc 2 ẩn t tham số x, ta có:
\(\Delta'=\left(x-1\right)^2-\left(x^2-2x-3\right)=4\)
Nên pt có 2 nghiệm pb:
\(\left[{}\begin{matrix}t=-\left(x-1\right)+\sqrt{4}=3-x\\t=-\left(x-1\right)-\sqrt{4}=-x-1\end{matrix}\right.\)
Vẫn được kết quả y như cách cũ
12.
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-2=a\\\sqrt{x^2+x+1}=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+4b^2=5x^2+8\)
\(\Rightarrow5x^2=a^2+4b^2-8\)
Phương trình trở thành:
\(a^2+4b^2-8+4ab=1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+2b\right)^2=9\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a+2b=3\\a+2b=-3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2b=3-a\\2b=-3-a\end{matrix}\right.\)
Tới đây em có thể tự hoàn thành. Bài này cũng như bài trước, nếu muốn ta cũng có thể đặt ẩn phụ ko hoàn toàn được
