a: Xét tứ giác MAOB có \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)
nên MAOB là tứ giác nội tiếp
Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO\(\perp\)AB
b: Xét (O) có
\(\widehat{MAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AC
\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
Do đó: \(\widehat{MAC}=\widehat{ADC}\)
Xét ΔMAC và ΔMDA có
\(\widehat{MAC}=\widehat{MDA}\)
\(\widehat{AMC}\) chung
Do đó: ΔMAC~ΔMDA
=>\(\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{MA}{MD}\)
=>\(AC\cdot MD=MA\cdot AD\)
c: ΔOCD cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI\(\perp\)CD
Gọi H là giao điểm của OM và AB
=>OM\(\perp\)AB tại H
Xét ΔOHE vuông tại H và ΔOIM vuông tại I có
\(\widehat{HOE}\) chung
Do đó: ΔOHE~ΔOIM
=>\(\dfrac{OH}{OI}=\dfrac{OE}{OM}\)
=>\(OH\cdot OM=OE\cdot OI\left(3\right)\)
Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao
nên \(OH\cdot OM=OA^2=R^2\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(OE\cdot OI=R^2\)
=>\(OE=R^2:\dfrac{R}{3}=3R\)
