a: Xét tứ giác OBDF có \(\widehat{OBD}+\widehat{OFD}=90^0+90^0=180^0\)
nên OBDF là tứ giác nội tiếp
b: ΔOFA vuông tại F
=>\(FA^2+FO^2=OA^2\)
=>\(OA^2=\left(\dfrac{4R}{3}\right)^2+R^2=\dfrac{25R^2}{9}\)
=>\(OA=\dfrac{5R}{3}\)
OC+CA=OA
=>\(CA+R=\dfrac{5}{3}R\)
=>\(CA=\dfrac{2}{3}R\)
AB=AC+CB=2R+2/3R=8/3R
Ta có: MO\(\perp\)BA
DB\(\perp\)BA
Do đó: DB//MO
Xét (O) có
DB,DF là các tiếp tuyến
Do đó: DO là phân giác của góc BDF
=>\(\widehat{BDO}=\widehat{FDO}\)
mà \(\widehat{BDO}=\widehat{MOD}\)(MO//BD)
nên \(\widehat{MOD}=\widehat{MDO}\)
=>MO=MD
Xét ΔAFO vuông tại F và ΔABD vuông tại B có
\(\widehat{FAO}\) chung
Do đó: ΔAFO~ΔABD
=>\(\dfrac{FO}{BD}=\dfrac{AF}{AB}\)
=>\(\dfrac{R}{BD}=\dfrac{4R}{3}:\dfrac{8}{3}R=\dfrac{1}{2}\)
=>BD=2R
Xét ΔABD có MO//BD
nên \(\dfrac{DM}{AM}=\dfrac{BO}{OA}=R:\dfrac{5R}{3}=\dfrac{3}{5}\)
\(\dfrac{DM}{AM}+1=\dfrac{DM+AM}{AM}=\dfrac{DA}{AM}\)
Xét ΔADB có MO//BD
nên \(\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{MO}{BD}\)
=>\(\dfrac{DA}{AM}=\dfrac{BD}{MO}\)
mà MO=MD
nên \(\dfrac{DA}{AM}=\dfrac{BD}{DM}\)
=>\(\dfrac{BD}{DM}=1+\dfrac{DM}{AM}\)
=>\(\dfrac{BD}{DM}-\dfrac{DM}{AM}=1\)
