a: Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC
mà Bx cắt trung trực của BC tại D nên OD là đường trung trực của BC
=>OD\(\perp\)BC tại trung điểm F của BC
Xét ΔDBC có
DF là đường trung tuyến
DF là đường cao
Do đó: ΔDBC cân tại D
Xét ΔOBD và ΔOCD có
OB=OC
DB=DC
OD chung
Do đó: ΔOBD=ΔOCD
=>\(\widehat{OBD}=\widehat{OCD}\)
=>\(\widehat{OCD}=90^0\)
=>DC là tiếp tuyến của (O)
b: Xét tứ giác BDCO có \(\widehat{DBO}+\widehat{DCO}=90^0+90^0=180^0\)
nên BDCO là tứ giác nội tiếp
c: Xét (O) có
ΔAEB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔEAB vuông tại E
=>BE\(\perp\)AD tại E
Xét ΔDBA vuông tại B có BE là đường cao
nên \(DE\cdot DA=DB^2\)
=>\(DE\cdot DA=DC^2\)(1)
Xét ΔDCO vuông tại C có CF là đường cao
nên \(DF\cdot DO=DC^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(DE\cdot DA=DC^2=DF\cdot DO\)
d: Ta có: CH\(\perp\)AB
DB\(\perp\)AB
Do đó: CH//DB
Xét (O) có
ΔBCA nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔBCA vuông tại C
=>BC\(\perp\)AN tại C
Ta có: \(\widehat{DCB}+\widehat{DCN}=\widehat{NCB}=90^0\)
\(\widehat{DBC}+\widehat{DNC}=90^0\)(ΔNCB vuông tại C)
mà \(\widehat{DCB}=\widehat{DBC}\)(ΔDBC cân tại D)
nên \(\widehat{DCN}=\widehat{DNC}\)
=>DC=DN
mà DC=DB
nên DN=DB(3)
Xét ΔADB có IH//DB
nên \(\dfrac{IH}{DB}=\dfrac{AI}{AD}\left(4\right)\)
Xét ΔADN có CI//DN
nên \(\dfrac{CI}{DN}=\dfrac{AI}{AD}\left(5\right)\)
Từ (3),(4),(5) suy ra CI=IH
=>I là trung điểm của CH
