1: Ta có: ΔOMN cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI\(\perp\)MN
Xét tứ giác OIAC có \(\widehat{OIA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên OIAC là tứ giác nội tiếp
2: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét (O) có
\(\widehat{ABM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BM
\(\widehat{BNM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM
Do đó: \(\widehat{ABM}=\widehat{BNM}\)
Xét ΔABM và ΔANB có
\(\widehat{ABM}=\widehat{ANB}\)
\(\widehat{BAM}\) chung
Do đó: ΔABM~ΔANB
=>\(\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AB}\)
=>\(AB^2=AM\cdot AN\left(3\right)\)
Xét ΔAOB vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(AM\cdot AN=AH\cdot AO\)
=>\(\dfrac{AM}{AO}=\dfrac{AH}{AN}\)
Xét ΔAMH và ΔAON có
\(\dfrac{AM}{AO}=\dfrac{AH}{AN}\)
\(\widehat{MAH}\) chung
Do đó: ΔAMH~ΔAON
=>\(\widehat{AMH}=\widehat{AON}\)
mà \(\widehat{AMH}+\widehat{NMH}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{NOH}+\widehat{NMH}=180^0\)
=>NMHO là tứ giác nội tiếp
